## 問題の内容

## 問題の内容

正六角形の頂点を移動するゲームについて，以下の確率や期待値を求める問題です．

* (1) 2回の移動で点Pが$A_3$の位置にある確率

* (2) 3回の移動で点Pが$A_1$の位置にある確率

* (3) 4回以内の移動で点Pが$A_1$の位置に到達する確率

* (4) 4回以内の移動で点Pが$A_1$の位置に到達したとき、3回目に点Pが$O$の位置にあった条件付き確率

* (5) 4回以内の移動で$A_1$に到達した場合の賞金の期待値と、参加料200円を比較して，ゲームに参加することが得かどうかを判断する

## 解き方の手順

(1) 2回の移動で点Pが$A_3$の位置にある確率

* 最初$A_1$からスタートし，$A_3$に到達するパターンを考える．

* 1回目: 1,2の目が出ると反時計回りに1つ移動．3,4の目が出ると時計回りに1つ移動．5,6の目が出ると中心$O$に移動．

* 2回目: $O$にいる場合は必ず$A_1$に移動する．$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$のいずれかにいる場合は，1,2で反時計回り，3,4で時計回り，5,6で$O$に移動する．

* $A_1$から$A_2$へ移動し、$A_2$から$A_3$へ移動するパターン: 1,2の目が出て、さらに1,2の目が出る．確率は $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36}$

* $A_1$から$O$へ移動し、$O$から$A_1$へ移動するパターン: 5,6の目が出て，$A_1$に移動．確率０（$A_1$から開始なので中心に移動した時点でゲームが終わってしまう。したがってこれはありえない。）

* $A_1$から$A_6$へ移動し、$A_6$から$A_3$へ移動するパターン: 3,4の目が出て, さらに3,4の目が出て3回動く。なのでありえない。

* よって，$A_1$から$A_3$へ2回で移動するパターンは、$A_2$を通る$\frac{4}{36}$のみ。

*2回の移動で$A_1$から$O$に移動した場合, 以降は$A_1$からスタートするのと同じなので、$A_1$から$A_1$から$A_3$へ2回で移動するパターンは、1つ隣りに移動することを２回繰り返すパターンのみ。*

(2) 3回の移動で点Pが$A_1$の位置にある確率

* $A_1$からスタートし，$A_1$に到達するパターンを考える．

* 1回目$A_2$へ移動 ($A_1 \to A_2$)

* 2回目$A_3$へ移動 ($A_2 \to A_3$)

* 3回目$A_4$へ移動 ($A_3 \to A_4$)

* 1回目$A_6$へ移動 ($A_1 \to A_6$)

* 2回目$A_5$へ移動 ($A_6 \to A_5$)

* 3回目$A_4$へ移動 ($A_5 \to A_4$)

* 上記以外にも1回目で$O$に移動すると$2$回目に$A_1$に移動してゲームオーバー。それからさらに移動することはありえない。

* $A_1 \to A_2 \to A_3 \to A_4$のパターンは３回の移動で$A_1$に到達せず、$A_4$で終了してしまう。

* $A_1 \to A_2 \to A_1 \to O$のパターンも同様

* $A_1 \to A_6 \to A_5 \to A_4$のパターンは３回の移動で$A_1$に到達せず、$A_4$で終了してしまう。

* $A_1 \to A_2 \to A_3 \to O$ は存在せず、ゲームが継続しない。

* $A_1 \to A_2 \to A_1 \to A_1$は、ゲーム終了条件を満たす。($A_1$で終了)

* $A_1 \to A_6 \to A_1 \to A_1$も同様

* ゆえに1回移動して隣の頂点に移動後、2回連続同じ方向に移動するというパターンはありえない。

* $A_1 \to A_2 \to A_1$は、$\frac{2}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{6}{36}$

* $A_1 \to A_6 \to A_1$は、$\frac{2}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{6}{36}$

* 上記の2パターンで$A_1 \to A_1$となるので，確率は$\frac{6}{36} + \frac{6}{36} = \frac{12}{36}=\frac{1}{3}$

(3) 4回以内の移動で点Pが$A_1$の位置に到達する確率

* 2回で$A_1$に到達確率は0

* 3回で$A_1$に到達確率は1/3

* 4回で$A_1$に到達パターンを考える

* 1回目$A_2$, 2回目$A_3$, 3回目$A_2$, 4回目$A_1$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{216}$

* 1回目$A_6$, 2回目$A_5$, 3回目$A_6$, 4回目$A_1$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{216}$

* 1回目$A_2$, 2回目$A_1$, 3回目$A_2$, 4回目$A_1$: $\frac{2}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{12}{216}$

* 1回目$A_6$, 2回目$A_1$, 3回目$A_6$, 4回目$A_1$: $\frac{2}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{12}{216}$

* 上記の4パターンで$A_1$に到達するので，確率は$\frac{12}{216} + \frac{12}{216}+\frac{12}{216} + \frac{12}{216} = \frac{48}{216}=\frac{2}{9}$

* 4回以内で$A_1$に到達する確率は$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$

(4) 4回以内の移動で点Pが$A_1$の位置に到達したとき、3回目に点Pが$O$の位置にあった条件付き確率

* 4回以内の移動で$A_1$に到達した確率は5/9

* 3回目に$O$にいたということは，2回目に$A_1$にいて，3回目に$O$にいる状態

* 3回目に$O$にいるケースを考える

* 1回目$A_2$, 2回目$A_1$, 3回目$O$:$\frac{2}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{18}$

* 1回目$A_6$, 2回目$A_1$, 3回目$O$:$\frac{2}{6} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{18}$

* 3回目に$O$にいた確率$\frac{1}{18}+\frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

* 条件付き確率は $(\frac{1}{9}) / (\frac{5}{9}) = \frac{1}{5}$

(5) このゲームにおいて、4回以内の移動で点Pが$A_1$の位置に到達したときには、次のように賞金を受け取ることができる。

2回の移動で$A_1$の位置に到達すると 1000円

3回の移動で$A_1$の位置に到達すると

500円

4回の移動で$A_1$の位置に到達すると 300円

その他の場合の賞金は0円とする。

このゲームの参加料が200円であるとき、賞金額の期待値を考えると、このゲームに参加することはテ

* 2回で$A_1$に到達する確率は0なので、賞金1000円はありえない

* 3回で$A_1$に到達する確率は$\frac{1}{3}$なので、賞金500円の期待値は $\frac{1}{3} \times 500 = \frac{500}{3}$

* 4回で$A_1$に到達する確率は$\frac{2}{9}$なので、賞金300円の期待値は $\frac{2}{9} \times 300 = \frac{600}{9}$

* 期待値の合計: $\frac{500}{3}+\frac{600}{9} = \frac{1500}{9} + \frac{600}{9} = \frac{2100}{9} = \frac{700}{3} \fallingdotseq 233.3$

* 参加料200円なので、期待値が上回るので，参加することは得である

## 最終的な答え

(1) ア: 1/9

(2) オ: 1/3

(3) シス: 5/9

(4) チ: 1/5

(5) テ: 得である