正六角形の頂点 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ と中心 $O$ があり、サイコロを振って出た目によって点Pを移動させるゲームについて、以下の確率を求めます。 (1) 2回の移動で点Pが $A_3$ の位置にある確率と、点Pが $O$ の位置にある確率 (2) 3回の移動で点Pが $A_3$ の位置にある確率と、点Pが $O$ の位置にある確率 点Pの移動ルールは以下の通りです。 - Pが $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ の位置にあるとき - 1,2の目が出ると反時計回りに一つ隣の頂点に移動 - 3,4の目が出ると時計回りに一つ隣の頂点に移動 - 5,6の目が出ると $O$ の位置に移動 - Pが $O$ の位置にあるとき - 出た目が $i$ (1≤i≤6) ならば、$A_i$ の位置に移動

1. 問題の内容

正六角形の頂点 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ と中心 $O$ があり、サイコロを振って出た目によって点Pを移動させるゲームについて、以下の確率を求めます。

(1) 2回の移動で点Pが $A_3$ の位置にある確率と、点Pが $O$ の位置にある確率

(2) 3回の移動で点Pが $A_3$ の位置にある確率と、点Pが $O$ の位置にある確率

点Pの移動ルールは以下の通りです。

- Pが $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ の位置にあるとき

- 1,2の目が出ると反時計回りに一つ隣の頂点に移動

- 3,4の目が出ると時計回りに一つ隣の頂点に移動

- 5,6の目が出ると $O$ の位置に移動

- Pが $O$ の位置にあるとき

- 出た目が $i$ (1≤i≤6) ならば、$A_i$ の位置に移動

2. 解き方の手順

(1)

- 2回の移動で点Pが $A_3$ の位置にある場合

- 1回目に $A_2$ に移動し、2回目に $A_3$ に移動

- 1回目に $O$ に移動し、2回目に $A_3$ に移動

- 確率は以下の通り。

- $A_1 \to A_2 \to A_3$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

- $A_1 \to O \to A_3$: $\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

- 合計: $\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

- 2回の移動で点Pが $O$ の位置にある場合

- 1回目に $A_2$ または $A_6$ に移動し、2回目に $O$ に移動

- 1回目に $O$ に移動し、2回目は必ず $A_i$ に移動するので不適。

- $A_1 \to A_2 \to O$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

- $A_1 \to A_6 \to O$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

- 合計: $\frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

(2)

- 3回の移動で点Pが $A_3$ の位置にある場合

- $A_1 \to A_2 \to A_3 \to A_3$

- $A_1 \to A_2 \to O \to A_3$

- $A_1 \to A_6 \to A_5 \to A_3$

- $A_1 \to A_6 \to O \to A_3$

- $A_1 \to O \to A_i \to A_3$

- 確率は以下の通り。

- $A_1 \to A_2 \to A_3 \to A_3$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times 0 = 0$ ($A_3$ に到達すると終了するため)

- $A_1 \to A_2 \to O \to A_3$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$

- $A_1 \to A_6 \to A_5 \to A_3$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times 0 = 0$

- $A_1 \to A_6 \to O \to A_3$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$

- $A_1 \to O \to A_2 \to A_3$: $\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$

- $A_1 \to O \to A_4 \to A_3$: $\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$

- 合計: $\frac{1}{54} + \frac{1}{54} + \frac{1}{54} + \frac{1}{54} = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$

- 3回の移動で点Pが $O$ の位置にある場合

- $A_1 \to A_2 \to A_3 \to O$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

- $A_1 \to A_2 \to O \to A_i$

- $A_1 \to A_6 \to A_5 \to O$: $\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

- $A_1 \to A_6 \to O \to A_i$

- $A_1 \to O \to A_i \to O$: $\frac{2}{6} \times \frac{1}{6} \times 0 = 0$

- 合計: $\frac{1}{27} + \frac{1}{27} = \frac{2}{27}$

3. 最終的な答え

(1)

- 2回の移動で点Pが $A_3$ の位置にある確率: 1/6

- 2回の移動で点Pが $O$ の位置にある確率: 2/9

(2)

- 3回の移動で点Pが $A_3$ の位置にある確率: 2/27

- 3回の移動で点Pが $O$ の位置にある確率: 2/27