与えられた積分を計算します。 $\int \frac{(x-3)^2}{x^4} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{(x-3)^2}{x^4} dx$

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x^2 - 6x + 9}{x^4} dx$

次に、積分を3つの部分に分けます。

$\int \frac{x^2}{x^4} dx - \int \frac{6x}{x^4} dx + \int \frac{9}{x^4} dx$

これを簡略化すると、

$\int x^{-2} dx - 6 \int x^{-3} dx + 9 \int x^{-4} dx$

次に、各項を積分します。

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$

したがって、積分は次のようになります。

$-\frac{1}{x} - 6(-\frac{1}{2x^2}) + 9(-\frac{1}{3x^3}) + C$

これを簡略化すると、

$-\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{3}{x^3} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{3}{x^3} + C$