与えられた関数 $f(x)$ のマクローリン展開を $n=3$ の項まで求めます。 a) $f(x) = \sin(2x)$ b) $f(x) = \log(1+x)$ c) $f(x) = e^{2x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ のマクローリン展開を $n=3$ の項まで求めます。

a) $f(x) = \sin(2x)$

b) $f(x) = \log(1+x)$

c) $f(x) = e^{2x}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開であり、以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

今回は $n=3$ なので、3次の項までを計算します。

a) $f(x) = \sin(2x)$ の場合

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = 2\cos(2x)$ より $f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin(2x)$ より $f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -8\cos(2x)$ より $f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

したがって、

$f(x) = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 = 2x - \frac{4}{3}x^3$

b) $f(x) = \log(1+x)$ の場合

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ より $f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ より $f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$ より $f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

したがって、

$f(x) = 0 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

c) $f(x) = e^{2x}$ の場合

$f(0) = e^{2(0)} = e^0 = 1$

$f'(x) = 2e^{2x}$ より $f'(0) = 2e^{2(0)} = 2$

$f''(x) = 4e^{2x}$ より $f''(0) = 4e^{2(0)} = 4$

$f'''(x) = 8e^{2x}$ より $f'''(0) = 8e^{2(0)} = 8$

したがって、

$f(x) = 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$

3. 最終的な答え

a) $\sin(2x) \approx 2x - \frac{4}{3}x^3$

b) $\log(1+x) \approx x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

c) $e^{2x} \approx 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$