問題4は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x\cos x}{x^2}$ が2025に等しいことをマクローリン展開を用いて示す問題です。

1. 問題の内容

問題4は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)\sin x - x\cos x}{x^2}$ が2025に等しいことをマクローリン展開を用いて示す問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開を用いて極限を計算します。

$\sin x$ と $\cos x$ のマクローリン展開をそれぞれ2次まで求めます。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

ここで、$x \to 0$ の極限を計算するため、$\sin x$ と $\cos x$ を $x^2$ の項まで近似します。

$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$

$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$

これらの近似を元の式に代入します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+2025x)(x - \frac{x^3}{6}) - x(1 - \frac{x^2}{2})}{x^2}$

分子を展開します。

$(1+2025x)(x - \frac{x^3}{6}) = x - \frac{x^3}{6} + 2025x^2 - \frac{2025x^4}{6}$

$x(1 - \frac{x^2}{2}) = x - \frac{x^3}{2}$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6} + 2025x^2 - \frac{2025x^4}{6} - x + \frac{x^3}{2}}{x^2}$

分子の $x$ の項が相殺されます。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + 2025x^2 - \frac{2025x^4}{6} + \frac{x^3}{2}}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{2025x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{2025x^4}{6}}{x^2}$

$x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to 0} (2025 + \frac{x}{3} - \frac{2025x^2}{6})$

$x \to 0$ の極限を取ります。

$\lim_{x \to 0} (2025 + \frac{x}{3} - \frac{2025x^2}{6}) = 2025$

3. 最終的な答え

2025