与えられた関数 $f(x)$ のマクローリン展開を $n=3$ の項まで求める問題です。 具体的には、 a) $f(x) = \sin(2x)$ b) $f(x) = \log(1+x)$ c) $f(x) = e^{2x}$ d) $f(x) = 2^x$ の4つの関数について、$x^3$ の項まで展開します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ のマクローリン展開を $n=3$ の項まで求める問題です。

具体的には、

a) $f(x) = \sin(2x)$

b) $f(x) = \log(1+x)$

c) $f(x) = e^{2x}$

d) $f(x) = 2^x$

の4つの関数について、$x^3$ の項まで展開します。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開であり、次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

各関数について、必要な階数までの導関数を計算し、$x=0$ での値を求め、上記のマクローリン展開の式に代入します。

a) $f(x) = \sin(2x)$

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = 2\cos(2x)$, $f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin(2x)$, $f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -8\cos(2x)$, $f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

したがって、

$\sin(2x) = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + \dots = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \dots$

b) $f(x) = \log(1+x)$

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$, $f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$, $f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$, $f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

したがって、

$\log(1+x) = 0 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \dots = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots$

c) $f(x) = e^{2x}$

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(x) = 2e^{2x}$, $f'(0) = 2e^0 = 2$

$f''(x) = 4e^{2x}$, $f''(0) = 4e^0 = 4$

$f'''(x) = 8e^{2x}$, $f'''(0) = 8e^0 = 8$

したがって、

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 + \dots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots$

d) $f(x) = 2^x$

$f(0) = 2^0 = 1$

$f'(x) = 2^x \ln(2)$, $f'(0) = 2^0 \ln(2) = \ln(2)$

$f''(x) = 2^x (\ln(2))^2$, $f''(0) = 2^0 (\ln(2))^2 = (\ln(2))^2$

$f'''(x) = 2^x (\ln(2))^3$, $f'''(0) = 2^0 (\ln(2))^3 = (\ln(2))^3$

したがって、

$2^x = 1 + \ln(2)x + \frac{(\ln(2))^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln(2))^3}{3!}x^3 + \dots = 1 + \ln(2)x + \frac{(\ln(2))^2}{2}x^2 + \frac{(\ln(2))^3}{6}x^3 + \dots$

3. 最終的な答え

a) $\sin(2x) = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \dots$

b) $\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots$

c) $e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots$

d) $2^x = 1 + (\ln 2)x + \frac{(\ln 2)^2}{2}x^2 + \frac{(\ln 2)^3}{6}x^3 + \dots$