(1) $x>0$ のとき、$x + \frac{9}{x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) $x>1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x>0$ のとき、$x + \frac{9}{x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) $x>1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x>0$ のとき、$x$ と $\frac{9}{x}$ は正であるから、相加相乗平均の関係が使える。

相加相乗平均の関係より

$x + \frac{9}{x} \ge 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 2 \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

等号成立は $x = \frac{9}{x}$ のとき、すなわち $x^2 = 9$ のときである。

$x>0$ より $x = 3$ 。

したがって、$x + \frac{9}{x}$ は $x=3$ のとき最小値6をとる。

(2) $x>1$ のとき、$x-1>0$ であるから、$x-1$ と $\frac{2}{x-1}$ は正であるので、相加相乗平均の関係が使えるように式変形をする。

$x + \frac{2}{x-1} = (x-1) + \frac{2}{x-1} + 1$

相加相乗平均の関係より

$(x-1) + \frac{2}{x-1} \ge 2 \sqrt{(x-1) \cdot \frac{2}{x-1}} = 2\sqrt{2}$

したがって

$x + \frac{2}{x-1} \ge 2\sqrt{2} + 1$

等号成立は $x-1 = \frac{2}{x-1}$ のとき、すなわち $(x-1)^2 = 2$ のときである。

$x>1$ より $x-1 = \sqrt{2}$ 、つまり $x = 1 + \sqrt{2}$。

したがって、$x + \frac{2}{x-1}$ は $x = 1+\sqrt{2}$ のとき最小値 $1+2\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 6, $x=3$

(2) 最小値: $1+2\sqrt{2}$, $x=1+\sqrt{2}$