2次不等式 $x^2 + (4k-1)x + \frac{3}{2}k - \frac{1}{2} > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような、実数 $k$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + (4k-1)x + \frac{3}{2}k - \frac{1}{2} > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような、実数 $k$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2+bx+c>0$ がすべての実数 $x$ について成り立つためには、$a>0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ が必要です。

この問題では、$a = 1 > 0$ なので、判別式 $D$ について考えます。

$D = (4k-1)^2 - 4(1)(\frac{3}{2}k - \frac{1}{2}) < 0$

これを展開して整理します。

$D = 16k^2 - 8k + 1 - 6k + 2 < 0$

$16k^2 - 14k + 3 < 0$

この不等式を解きます。左辺を因数分解すると、

$(2k-1)(8k-3) < 0$

よって、$k$ の範囲は $\frac{1}{2} < k < \frac{3}{8}$ となります。

これは $\frac{3}{8} > k > \frac{1}{2}$ と書き換えることができます。

選択肢の中から該当するものを選択します。

3. 最終的な答え

9: 1/2

10: 3/8