袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。机の上に赤、青、黄色の皿が1枚ずつ置かれている。袋から1個ずつ3個の玉を取り出し、取り出した順に各色の皿の上に置く。玉の色と皿の色が一致している皿の枚数をXとする。 (1) X=3となる確率を求めよ。 (2) X=2となる確率を求めよ。 (3) Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。机の上に赤、青、黄色の皿が1枚ずつ置かれている。袋から1個ずつ3個の玉を取り出し、取り出した順に各色の皿の上に置く。玉の色と皿の色が一致している皿の枚数をXとする。

(1) X=3となる確率を求めよ。

(2) X=2となる確率を求めよ。

(3) Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) X=3となるのは、取り出した玉の色がすべて皿の色と一致する場合である。つまり、赤、青、黄の順に取り出す場合のみである。

玉を取り出す順番は全部で $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りある。

X=3となるのは、赤、青、黄の順に取り出す場合なので、その確率は

$P(X=3) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

(2) X=2となるのは、3つのうち2つの玉の色が一致し、1つが一致しない場合である。

一致しない玉が1番目の場合：青、赤、黄 または 黄、青、黄

一致しない玉が2番目の場合：赤、赤、黄 または 赤、黄、赤

一致しない玉が3番目の場合：赤、青、赤 または 赤、青、青

$P(\text{赤、青、黄})= \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}$

3つの玉の色の並び方は全部で $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りである。

X=2 となる確率を求める。

1番目が一致しない確率: $(\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{0}{4}) + (\frac{1}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}) = 0 + \frac{6}{120} = \frac{6}{120}$

2番目が一致しない確率: $(\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{2}{4}) = \frac{9}{120} + \frac{6}{120} = \frac{15}{120}$

3番目が一致しない確率: $(\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}) = \frac{18}{120} + \frac{6}{120} = \frac{24}{120}$

赤青黄の順列は6通り

例えば、赤と青が一致する（順序を考慮）：赤青黄, 赤黄青、黄赤青、青赤黄、青黄赤、黄青赤

赤青黄の並び替え $3! = 6$

赤赤青：$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{12}{120}$

赤青青：$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

赤青黄：$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120}$

$P(X=2) = \frac{54}{120} = \frac{9}{20}$

(3) Xの期待値を求める。X=0,1,2,3の場合を考える。

$P(X=3) = \frac{1}{20}$

$P(X=2) = \frac{9}{20}$

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$

$P(X=0) + P(X=1) = 1 - \frac{9}{20} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$X=1$の場合は、$P(X=1) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times 5 = \frac{90}{120}$

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) = 1 \times \frac{11}{30} + 2 \times \frac{19}{15} + 3 \times \frac{1}{20}$

全事象は $6P3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り

X=3となるのは：赤青黄の順に取り出す $3 \times 2 \times 1 = 6$通り。確率は $\frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

X=2となるのは：赤赤青、赤青青、赤青黄

$3\times2\times2 + 3\times2\times1 + 3\times2\times1 = 12 + 6 + 6 = 24$ 通り、確率は $\frac{54}{120}$

X=1となるのは：

X=0となるのは：青赤黄、青黄赤、黄赤青、黄青赤の４パターン

Xの期待値：$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$E(X) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$

$E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3) = 0 * P(X=0) + 1 * \frac{1}{2} + 2 * \frac{3}{8} + 3 * \frac{1}{20} = \frac{1}{2} + \frac{6}{8} + \frac{3}{20}$

$= \frac{10 + 15 + 3}{20} = \frac{28}{20} = \frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{20}$

(2) $\frac{9}{20}$

(3) $\frac{7}{5}$