2次関数 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ のグラフが、$x$軸の正の部分および負の部分とそれぞれ異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ のグラフが、$x$軸の正の部分および負の部分とそれぞれ異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件を求める。これは判別式 $D$ が正であることと同値である。

$D/4 = m^2 - (2m+3) = m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m-3)(m+1) > 0$

したがって、$m < -1$ または $m > 3$ である。

(1) $x$軸の正の部分と異なる2点で交わる条件は、

(i) $x$ 軸と異なる2点で交わる ($m < -1$ または $m > 3$)

(ii) 軸の位置が正 ($x = -m > 0 \Leftrightarrow m < 0$)

(iii) $y$切片が正 ($y = 2m+3 > 0 \Leftrightarrow m > -3/2$)

を満たすことである。

$m < -1$ と $m < 0$ と $m > -3/2$ より、$-3/2 < m < -1$

$m > 3$ と $m < 0$ と $m > -3/2$ を満たす $m$ は存在しない。

したがって、$x$軸の正の部分と異なる2点で交わるための $m$ の範囲は、$-3/2 < m < -1$ である。

(2) $x$軸の負の部分と異なる2点で交わる条件は、

(i) $x$ 軸と異なる2点で交わる ($m < -1$ または $m > 3$)

(ii) 軸の位置が負 ($x = -m < 0 \Leftrightarrow m > 0$)

(iii) $y$切片が正 ($y = 2m+3 > 0 \Leftrightarrow m > -3/2$)

を満たすことである。

$m < -1$ と $m > 0$ と $m > -3/2$ を満たす $m$ は存在しない。

$m > 3$ と $m > 0$ と $m > -3/2$ より、$m > 3$

したがって、$x$軸の負の部分と異なる2点で交わるための $m$ の範囲は、$m > 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-3/2 < m < -1$

(2) $m > 3$