三角形ABCにおいて、点Dは線分ABの延長線上にあり、AD:DB = 5:2である。また、点Eは線分AC上にあり、AE:EC = 2:3である。このとき、以下の面積比を求めよ。 (1) △ABC : △ADC (2) △ADE : △ADC (3) △ADE : △ABC

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Dは線分ABの延長線上にあり、AD:DB = 5:2である。また、点Eは線分AC上にあり、AE:EC = 2:3である。このとき、以下の面積比を求めよ。

(1) △ABC : △ADC

(2) △ADE : △ADC

(3) △ADE : △ABC

2. 解き方の手順

(1) △ABC : △ADCについて

△ABCと△ADCは、点CからAB（延長線上も含む）に下ろした垂線を高さと考えると、高さが共通である。したがって、面積比は底辺の比に等しい。

AD:DB = 5:2より、AB:AD = (5-2):5 = 3:5である。

したがって、△ABC : △ADC = AB : AD = 3 : 5

(2) △ADE : △ADCについて

△ADEと△ADCは、点DからACに下ろした垂線を高さと考えると、高さが共通である。したがって、面積比は底辺の比に等しい。

AE:EC = 2:3より、AE:AC = 2:(2+3) = 2:5である。

したがって、△ADE : △ADC = AE : AC = 2 : 5

(3) △ADE : △ABCについて

△ADEと△ABCの面積比は、(2)と(1)の結果を利用する。

△ADE : △ADC = 2 : 5より、△ADE = (2/5)△ADC

△ABC : △ADC = 3 : 5より、△ADC = (5/3)△ABC

したがって、△ADE = (2/5) × (5/3) × △ABC = (2/3) △ABC

よって、△ADE : △ABC = 2 : 3

3. 最終的な答え

(1) △ABC : △ADC = 3 : 5

(2) △ADE : △ADC = 2 : 5

(3) △ADE : △ABC = 2 : 3