与えられた式 $ax(x - 3) + c(x + 1) = b(x^2 + 1) - 2$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ax(x - 3) + c(x + 1) = b(x^2 + 1) - 2$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ax(x - 3) + c(x + 1) = ax^2 - 3ax + cx + c$

$b(x^2 + 1) - 2 = bx^2 + b - 2$

したがって、式は

$ax^2 - 3ax + cx + c = bx^2 + b - 2$

となります。

次に、$x$ の次数ごとに係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a = b$

$x$ の係数: $-3a + c = 0$

定数項: $c = b - 2$

これらの式から $a, b, c$ を求めます。

まず、$a=b$ を $c = b - 2$ に代入すると、$c = a - 2$ となります。

次に、$-3a + c = 0$ に $c = a - 2$ を代入すると、 $-3a + (a - 2) = 0$ となります。

$-2a - 2 = 0$

$-2a = 2$

$a = -1$

$a = b$ より、$b = -1$

$c = a - 2$ より、$c = -1 - 2 = -3$

3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = -1$, $c = -3$