$x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$のとき、以下の値を求めよ。 (1) $x+y$、$xy$ (2) $x^2+y^2$ (3) $x^2y + xy^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$のとき、以下の値を求めよ。

(1) $x+y$、$xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $x^2y + xy^2$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$

$y = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$

(1) $x+y$、$xy$を計算します。

$x+y = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$

$xy = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1$

(2) $x^2+y^2$を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{2})^2 - 2(1) = 8 - 2 = 6$

(3) $x^2y + xy^2$を計算します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = 1 \cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{2}$、$xy = 1$

(2) $x^2+y^2 = 6$

(3) $x^2y + xy^2 = 2\sqrt{2}$