問題文は、(1)と(2)の式を計算し、(3)から(6)の式の分母を有理化せよ、というものです。ここでは、問題(6)に取り組みます。 問題(6)は、 $\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}$ です。

1. 問題の内容

問題文は、(1)と(2)の式を計算し、(3)から(6)の式の分母を有理化せよ、というものです。ここでは、問題(6)に取り組みます。

問題(6)は、 $\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{6}(1+\sqrt{3})$ の共役複素数である $\sqrt{6}(1-\sqrt{3})$ を掛けることを考えますが、まずは分母のカッコ内を展開してみましょう。

$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{18}}$

ここで、$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ なので、

$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{18}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}$

ここで、分母と分子に $\sqrt{6}-3\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{(3+\sqrt{3})(\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+3\sqrt{2})(\sqrt{6}-3\sqrt{2})} = \frac{3\sqrt{6}-9\sqrt{2}+\sqrt{18}-3\sqrt{6}}{6-18}$

$= \frac{3\sqrt{6}-9\sqrt{2}+3\sqrt{2}-3\sqrt{6}}{-12} = \frac{-6\sqrt{2}}{-12} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{2}$