問題は以下の2つです。 (8) 和 $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k-1)$ を求めよ。 (9) 和 $\sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(8) 和 $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k-1)$ を求めよ。

(9) 和 $\sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(8)

まず、$(k+1)(k-1)$ を展開します。

$(k+1)(k-1) = k^2 - 1$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = \frac{n(n+1)(2n+1) - 6n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 - 6)}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n - 5)}{6} = \frac{n(n-1)(2n+5)}{6}$

(9)

これは等比数列の和です。 初項は $3^1 = 3$, 公比は3, 項数は $n-1$ です。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

であるので、この問題では、

$S_{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

(8) $\frac{n(n-1)(2n+5)}{6}$

(9) $\frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$