$\frac{d}{dx} \int_{2}^{x} (t-3)(t+1) dt$ を計算します。つまり、積分を計算した後、その結果を $x$ で微分します。

1. 問題の内容

$\frac{d}{dx} \int_{2}^{x} (t-3)(t+1) dt$ を計算します。つまり、積分を計算した後、その結果を $x$ で微分します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(t-3)(t+1) = t^2 - 2t - 3$

次に、積分を計算します。

$\int_{2}^{x} (t^2 - 2t - 3) dt = [\frac{1}{3}t^3 - t^2 - 3t]_{2}^{x}$

$= (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x) - (\frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 - 3(2))$

$= \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x - (\frac{8}{3} - 4 - 6)$

$= \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x - (\frac{8}{3} - 10)$

$= \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x - (\frac{8-30}{3})$

$= \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + \frac{22}{3}$

最後に、微分を計算します。

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + \frac{22}{3}) = x^2 - 2x - 3$

別の解き方として、微積分学の基本定理を使う方法があります。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

この問題の場合、$f(t) = (t-3)(t+1)$ で、$a = 2$ です。したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{2}^{x} (t-3)(t+1) dt = (x-3)(x+1) = x^2 - 2x - 3$

3. 最終的な答え

$x^2 - 2x - 3$