与えられた式 $x^2 - (a^2 + a + 2)x + a(a+2)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - (a^2 + a + 2)x + a(a+2)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、以下の手順で進めます。

与えられた式は

$x^2 - (a^2 + a + 2)x + a(a+2)$

です。

この式は、$x$ に関する2次式とみることができ、因数分解の公式

$x^2 + (A+B)x + AB = (x+A)(x+B)$

を利用することを考えます。

与えられた式を

$x^2 - (a^2 + a)x -2x + a(a+2)$

と変形し、

$x^2 - (a(a+1) + 2)x + a(a+2)$

とします。

次に、$a(a+2)$ が $a$ と $a+2$ の積であることを利用します。ここで、$x^2 - (a^2 + a + 2)x + a(a+2) = (x-a^2-a)(x-2) + a^2 +a^2+2a- a(a+2)$

なので、たすき掛けを検討します。

$x^2 - (a^2 + a + 2)x + a(a+2) = x^2 - (a + a + 2)x + a(a+2)$

なので、

$(x - a) (x - (a+2))$

$= x^2 - ax - (a+2)x + a(a+2)$

$= x^2 - (2a+2)x + a^2 + 2a$

これは元の式ではありません。

与式 $= x^2 - (a^2 + a + 2)x + (a^2 + 2a)$

$= x^2 - (a^2 + a)x - 2x + a^2 + 2a$

積が $a(a+2)$ で、和が $-(a^2 + a + 2)$ になる2数を探します。

$a^2 + a + 2$ を見て、$x^2 - (A+B)x + AB = (x - A)(x - B)$ を利用します。

$A = a$, $B = a+2$ とすると、積は $a(a+2)$ となります。

また、$A+B = a + (a+2) = 2a + 2$ となります。

ここから、$a^2 + a + 2 = a(a+1) + 2 = A + B$　を探します。

そうすると、$A = a^2 + a, B = 2$ になると、$AB = 2(a^2 + a) \neq a(a+2)$ です。

ところが、$A = a^2 + a, B = -2$ とすると、$AB = -(a^2 + a)*2$ となります。

これはうまくいきません。

元の式をよく見ると、$a(a+2)$ は、単に $(a+2)a$ でした。

そうすると、$x^2 - (a+2+a^2)x + a^2+2a$ で因数分解できるので、

$(x - a)(x-a-2)$ となるはずです。しかし、$(x-a^2-a)(x-2)$ という式になるべきでした。

正しくは、$x^2 - ((a^2 + a) + 2)x + (a^2 + 2a)$ なので、$(x - (a^2 + a)) (x - 2) = x^2 -2x -(a^2 + a)x + 2a^2 + 2a$ $= x^2 - (a^2+a+2)x + 2a^2 + 2a$

よって、$x^2 - (a^2+a+2)x + a^2+2a = (x-(a^2+a)) (x-2)$

3. 最終的な答え

$(x - (a^2 + a))(x-2)$