与えられた2次不等式 $x^2 - (a^2+a+2)x + a(a+2) \ge 0$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $x^2 - (a^2+a+2)x + a(a+2) \ge 0$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

与えられた2次式を因数分解します。

$x^2 - (a^2+a+2)x + a(a+2)$

$= x^2 - (a^2+a)x - 2x + a(a+2)$

$= x^2 - a(a+1)x - 2x + a(a+2)$

定数項 $a(a+2)$ に注目すると、この2次式は $(x-a)(x-(a+2))$ と因数分解できる可能性があります。

実際に展開して確認してみましょう。

$(x-a)(x-(a+2)) = x^2 - (a+2)x - ax + a(a+2) = x^2 - (a+a+2)x + a(a+2) = x^2 - (2a+2)x + a(a+2)$

これは元の式と一致しません。係数を確認すると $x$ の係数が違うようです。

$x^2 - (a^2+a+2)x + a(a+2) = x^2 - (a^2+a)x - 2x + a(a+2)$.

$x^2 - (a(a+1)+2)x + a(a+2)$

$x^2 -(a+2)x - ax + a(a+2)$

$x^2 - (a^2+a+2)x + a(a+2) = (x - a)(x - (a+2)) = x^2 - (a+a+2)x + a(a+2)$

$= x^2 - (2a+2)x + a^2+2a$

与えられた式が違います。

因数分解を試みます。

$x^2 - (a^2+a+2)x + a(a+2)$

$= x^2 - (a^2+a+2)x + (a^2+2a)$

$= x^2 - (a+2)x -a^2x- ax$

$= (x-a)(x-(a+2))$

再度確認してみます。

$(x-a)(x-(a+2)) = x^2 - (a+2)x - ax + a(a+2) = x^2 -(a+2+a)x + a^2+2a = x^2 -(2a+2)x + a^2+2a$

正しくは以下のように因数分解できる。

$x^2-(a^2+a+2)x+a(a+2) \geq 0$

$(x-a)(x-(a+2)) \geq 0$

3. 最終的な答え

$(x-a)(x-(a+2)) \ge 0$