$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求める。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求める。

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2)^2 - (\frac{4}{a^2})^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1 = 14(a^2 - \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a}) = 3\sqrt{2}(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}) = 3\sqrt{2}(\frac{2\sqrt{10}}{2}) = 3\sqrt{20} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

したがって、$14(6\sqrt{5}) - \frac{8}{a^2} - 1 = 84\sqrt{5} - \frac{8}{a^2} - 1$

$a^2 = (\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18 + 6\sqrt{20} + 10}{4} = \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3\sqrt{5}$

$\frac{8}{a^2} = \frac{8}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{8(7 - 3\sqrt{5})}{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})} = \frac{8(7 - 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{8(7 - 3\sqrt{5})}{4} = 2(7 - 3\sqrt{5}) = 14 - 6\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 84\sqrt{5} - (14 - 6\sqrt{5}) - 1 = 90\sqrt{5} - 15$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $90\sqrt{5} - 15$