与えられた３つの二次関数について、指定された範囲における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求める問題です。 (1) $y = (x-1)^2 - 2$ ($0 \leq x \leq 3$) (2) $y = 2x^2 - 3$ ($2 \leq x \leq 4$) (3) $y = -x^2 + 2$ ($-1 \leq x \leq 2$)

1. 問題の内容

与えられた３つの二次関数について、指定された範囲における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求める問題です。

(1) $y = (x-1)^2 - 2$ ($0 \leq x \leq 3$)

(2) $y = 2x^2 - 3$ ($2 \leq x \leq 4$)

(3) $y = -x^2 + 2$ ($-1 \leq x \leq 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)^2 - 2$ ($0 \leq x \leq 3$)

この関数は頂点が $(1, -2)$ の下に凸の放物線です。

定義域 $0 \leq x \leq 3$ における最大値と最小値を求めます。

* $x = 1$ のとき (頂点): $y = (1-1)^2 - 2 = -2$

* $x = 0$ のとき: $y = (0-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

* $x = 3$ のとき: $y = (3-1)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

したがって、最小値は $-2$ ($x=1$ のとき)、最大値は $2$ ($x=3$ のとき)です。

(2) $y = 2x^2 - 3$ ($2 \leq x \leq 4$)

この関数は頂点が $(0, -3)$ の下に凸の放物線です。

定義域 $2 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求めます。

* $x = 2$ のとき: $y = 2(2^2) - 3 = 8 - 3 = 5$

* $x = 4$ のとき: $y = 2(4^2) - 3 = 32 - 3 = 29$

したがって、最小値は $5$ ($x=2$ のとき)、最大値は $29$ ($x=4$ のとき)です。

(3) $y = -x^2 + 2$ ($-1 \leq x \leq 2$)

この関数は頂点が $(0, 2)$ の上に凸の放物線です。

定義域 $-1 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求めます。

* $x = 0$ のとき (頂点): $y = -(0)^2 + 2 = 2$

* $x = -1$ のとき: $y = -(-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

* $x = 2$ のとき: $y = -(2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

したがって、最大値は $2$ ($x=0$ のとき)、最小値は $-2$ ($x=2$ のとき)です。

3. 最終的な答え

(1)

* 最大値: $2$ ($x = 3$ のとき)

* 最小値: $-2$ ($x = 1$ のとき)

(2)

* 最大値: $29$ ($x = 4$ のとき)

* 最小値: $5$ ($x = 2$ のとき)

(3)

* 最大値: $2$ ($x = 0$ のとき)

* 最小値: $-2$ ($x = 2$ のとき)