$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。 $A = (0, p_1, p_2, -3p_1 + p_2)$ $b = 3p_1 - p_2$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として与えられたものが正しいかどうかを判定する。与えられたパラメータ表示は $x = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$ である。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。

$A = (0, p_1, p_2, -3p_1 + p_2)$

$b = 3p_1 - p_2$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として与えられたものが正しいかどうかを判定する。与えられたパラメータ表示は

$x = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$

である。

2. 解き方の手順

与えられた $x$ が $Ax = b$ を満たすかどうかを確かめる。

$Ax = A \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$

$= A \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + p A \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$A = (0, p_1, p_2, -3p_1 + p_2)$ であったから、

$A \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot 0 + 6 p_1 - 2 p_2 + 1(-3p_1 + p_2) = 6 p_1 - 2 p_2 - 3p_1 + p_2 = 3p_1 - p_2 = b$

$A \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 + 3 p_1 - 1 p_2 + 1(-3p_1 + p_2) = 3 p_1 - p_2 - 3p_1 + p_2 = 0$

したがって、$Ax = b + p \cdot 0 = b$ となり、$x$ は $Ax = b$ を満たす。

よって、与えられたパラメータ表示は正しい。

3. 最終的な答え

正しい