$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1 -2p_1 \ p_2 \ p_3)$ $b = 2p_1 + 3p_2 + p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として $x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ p, q, r \in \mathbb{R}$ が正しいかどうかを判定する。

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1 -2p_1 \ p_2 \ p_3)$

$b = 2p_1 + 3p_2 + p_3$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として

$x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ p, q, r \in \mathbb{R}$ が正しいかどうかを判定する。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の列ベクトルを $a_1 = p_1$, $a_2 = -2p_1$, $a_3 = p_2$, $a_4 = p_3$ とする。

このとき、$Ax = b$ は

$x_1 p_1 - 2x_2 p_1 + x_3 p_2 + x_4 p_3 = 2p_1 + 3p_2 + p_3$

となる。

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、各ベクトルの係数を比較して、

$x_1 - 2x_2 = 2$

$x_3 = 3$

$x_4 = 1$

を得る。

$x_1 = 2 + 2x_2$ となるので、$x_2 = p$ とおくと、$x_1 = 2 + 2p$ となる。$x_3 = 3$, $x_4 = 1$ は決まっている。

よって、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2p \\ p \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、$Ax = b$ の解は1つのパラメータ $p$ で表され、与えられたパラメータ表示とは異なる。

3. 最終的な答え

正しくない