$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1 \ p_2 \ p_1 + p_2 \ -p_1 - p_2)$ $b = p_1 + 3p_2$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , p, q \in \mathbb{R}$ が正しいか。

代数学線形代数連立一次方程式行列線形独立パラメータ表示
2025/7/17

1. 問題の内容

P=(p1 p2 p3)P = (p_1 \ p_2 \ p_3) は正則行列である。
A=(p1 p2 p1+p2 p1p2)A = (p_1 \ p_2 \ p_1 + p_2 \ -p_1 - p_2)
b=p1+3p2b = p_1 + 3p_2
のとき、連立1次方程式 Ax=bAx = b の解のパラメータ表示として
(0011)+p(1101)+q(1121),p,qR\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , p, q \in \mathbb{R}
が正しいか。

2. 解き方の手順

まず、Ax=bAx = b を行列とベクトルで表現する。
x=(x1x2x3x4)x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} とすると、
Ax=x1p1+x2p2+x3(p1+p2)+x4(p1p2)=b=p1+3p2Ax = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 (p_1 + p_2) + x_4 (-p_1 - p_2) = b = p_1 + 3p_2
これは以下のように書き換えられる。
(x1+x3x4)p1+(x2+x3x4)p2=p1+3p2(x_1 + x_3 - x_4) p_1 + (x_2 + x_3 - x_4) p_2 = p_1 + 3p_2
p1p_1p2p_2 は線形独立なので、以下の連立方程式を得る。
x1+x3x4=1x_1 + x_3 - x_4 = 1
x2+x3x4=3x_2 + x_3 - x_4 = 3
パラメータ表示が正しいかを確認する。与えられたパラメータ表示を xx に代入する。
x=(0011)+p(1101)+q(1121)=(pqpq1+2q1+p+q)x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p - q \\ p - q \\ 1 + 2q \\ 1 + p + q \end{pmatrix}
これを連立方程式に代入する。
(pq)+(1+2q)(1+p+q)=pq+1+2q1pq=0(p - q) + (1 + 2q) - (1 + p + q) = p - q + 1 + 2q - 1 - p - q = 0
(pq)+(1+2q)(1+p+q)=pq+1+2q1pq=0(p - q) + (1 + 2q) - (1 + p + q) = p - q + 1 + 2q - 1 - p - q = 0
したがって、
x1+x3x4=01x_1 + x_3 - x_4 = 0 \neq 1
x2+x3x4=03x_2 + x_3 - x_4 = 0 \neq 3
与えられたパラメータ表示は Ax=bAx = b の解ではない。

3. 最終的な答え

正しくない

「代数学」の関連問題

$x$ についての不等式 $2x + a > 4 - x$ が与えられている。 (1) この不等式の解が $x > 2$ であるとき、$a$ の値を求める。 (2) この不等式の解が $x = -3$...

不等式一次不等式解の範囲文字を含む不等式
2025/7/17

与えられた8個の2次方程式を解く問題です。

二次方程式平方根解の公式因数分解
2025/7/17

問題は、条件 $p$ が条件 $q$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもないかを判断する問題です。 問題文の選択肢は以下の通りです。 ア: 必要条件であるが十...

命題必要条件十分条件必要十分条件絶対値二次方程式
2025/7/17

ある商品Aの売り上げ高を最大にするための売り値を求める問題です。売り値を60円からx円値上げしたときの1日の売り上げ高をy円とすると、yをxの関数で表し、その最大値を求めることで、売り上げ高が最大とな...

二次関数最大値応用問題最適化
2025/7/17

問題は3つのパートに分かれています。 (1) 連立不等式の解を求める問題。 (2) 2つの整数 $a$, $b$ について、それぞれを11で割った余りが与えられたとき、$a+b$ と $ab$ を11...

連立不等式整数の性質標準偏差三角比2次関数平方完成最大値因数分解二次方程式
2025/7/17

$a > 0$ とする。2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ ($0 \le x \le 4$)について、最小値 $m$ と最大値 $M$ をそれぞれ求めよ。

二次関数最大値最小値場合分け平方完成
2025/7/17

ある商品Aの売り上げを最大にするための価格設定を求める問題です。 初期価格が60円で、その時の販売個数は400個です。価格を1円上げるごとに販売個数が5個ずつ減少し、売り上げ高が最大となる価格を求めま...

二次関数最大値価格設定最適化
2025/7/17

$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$ を計算しなさい。

平方根因数分解式の計算
2025/7/17

問題は、2x3行列Aの列ベクトル表示を($a_1$, $a_2$, $a_3$)とするとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $A \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \e...

線形代数行列ベクトル線形結合
2025/7/17

与えられた連立1次方程式 $\begin{cases} x + 3y - 4z = -4 \\ 4x + 12y - z = 14 \\ 7x + 21y - 9z = 10 \end{cases}$...

線形代数連立一次方程式行列階数
2025/7/17