$P = (p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1 \ -4p_1 \ 2p_1 \ p_2 \ p_3)$, $b = p_1 - p_2 - 3p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、 $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + p\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ($p, q \in \mathbb{R}$) は正しいか？

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_4)$ は正則行列である。

$A = (p_1 \ -4p_1 \ 2p_1 \ p_2 \ p_3)$,

$b = p_1 - p_2 - 3p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + p\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ($p, q \in \mathbb{R}$) は正しいか？

2. 解き方の手順

まず、与えられた $A$ と $x$ を使って $Ax$ を計算し、$b$ と一致するか確認する。

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}$ とすると、

$Ax = x_1p_1 + x_2(-4p_1) + x_3(2p_1) + x_4p_2 + x_5p_3$

与えられた $x$ を代入すると、

$Ax = (1+p\cdot 4 + q\cdot 4)p_1 + (0+p\cdot 3 + q\cdot 1)(-4p_1) + (0+p\cdot 4)2p_1 + (-1)p_2 + (-3)p_3$

$= (1 + 4p + 4q)p_1 - (12p + 4q)p_1 + 8pp_1 - p_2 - 3p_3$

$= (1 + 4p + 4q - 12p - 4q + 8p)p_1 - p_2 - 3p_3$

$= p_1 - p_2 - 3p_3 = b$

したがって、$Ax=b$ となる。

次に、与えられたパラメータ表示が一般解になっているかを確認するために、$A$ の次元を求める。$A$は $p_1, p_2, p_3$ の線形結合で表されるので、$p_1, p_2, p_3$ のどれか二つが線形独立ならば、$A$のランクは2である。$p_1, p_2, p_3$ は正則行列 $P$ の列ベクトルなので線形独立である。したがって、$A$のランクは3である。

$A$ は 5 変数の連立一次方程式であるから、自由度は $5 - 3 = 2$ となる。

パラメータ表示に含まれるパラメータの数が $p, q$ の2つであるから、与えられたパラメータ表示は一般解である可能性が高い。

最後に、与えられたパラメータ表示が実際に解のパラメータ表示になっているか確認する。

$A\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 4p_1 - 12p_1 + 8p_1 = 0$

$A\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 4p_1 - 4p_1 = 0$

3. 最終的な答え

正しい