$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。$A = (p_1, -4p_1, 2p_1, p_2, p_3)$ かつ $b = p_1 - p_2 - 3p_3$ のとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたものが正しいかどうかを判定する問題。与えられた解のパラメータ表示は $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $p, q \in \mathbb{R}$ である。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。$A = (p_1, -4p_1, 2p_1, p_2, p_3)$ かつ $b = p_1 - p_2 - 3p_3$ のとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたものが正しいかどうかを判定する問題。与えられた解のパラメータ表示は

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $p, q \in \mathbb{R}$

である。

2. 解き方の手順

まず、$Ax = b$ を $x$ について解くことを考える。行列 $A$ は $5 \times 5$ の行列であり、$A = (p_1, -4p_1, 2p_1, p_2, p_3)$ である。

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax = x_1 p_1 - 4x_2 p_1 + 2x_3 p_1 + x_4 p_2 + x_5 p_3 = b = p_1 - p_2 - 3p_3$ となる。

これを整理すると $(x_1 - 4x_2 + 2x_3)p_1 + x_4 p_2 + x_5 p_3 = p_1 - p_2 - 3p_3$ となる。

$p_1, p_2, p_3$ は一次独立なので、係数を比較すると

$x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 1$

$x_4 = -1$

$x_5 = -3$

となる。

$x_1 = 1 + 4x_2 - 2x_3$ であり、$x_2, x_3$ は任意の値をとれる。

パラメータ表示を求める。$x_2 = p, x_3 = q$ とすると、$x_1 = 1 + 4p - 2q$ となる。

従って、解は

$x = \begin{pmatrix} 1+4p-2q \\ p \\ q \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

となる。与えられたパラメータ表示と異なるため、誤りである。

3. 最終的な答え

False