$P = (p_1\ p_2\ p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1\ p_2\ -2p_1+2p_2\ -3p_1-4p_2)$ $b = 2p_1+3p_2$ のとき、連立1次方程式 $Ax=b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいか？ $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -12 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

1. 問題の内容

$P = (p_1\ p_2\ p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1\ p_2\ -2p_1+2p_2\ -3p_1-4p_2)$

$b = 2p_1+3p_2$

のとき、連立1次方程式 $Ax=b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいか？

$\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -12 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列 $A$ を行列とベクトルで表現します。

$A = (p_1\ p_2\ -2p_1+2p_2\ -3p_1-4p_2) = \begin{pmatrix} p_1 & p_2 & -2p_1+2p_2 & -3p_1-4p_2 \end{pmatrix}$

この行列とベクトル $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ の積 $Ax$ を計算すると、$Ax = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3(-2p_1+2p_2) + x_4(-3p_1-4p_2) = (x_1-2x_3-3x_4)p_1 + (x_2+2x_3-4x_4)p_2$ となります。

与えられた $b$ は $b = 2p_1+3p_2$ であるので、連立一次方程式 $Ax = b$ は

$(x_1-2x_3-3x_4)p_1 + (x_2+2x_3-4x_4)p_2 = 2p_1+3p_2$

となり、これは以下の連立方程式と同値です。

$x_1-2x_3-3x_4 = 2$

$x_2+2x_3-4x_4 = 3$

$x_1 = 2+2x_3+3x_4$

$x_2 = 3-2x_3+4x_4$

$x_3 = x_3$

$x_4 = x_4$

よって、一般解は

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

与えられた解は

$\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -12 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

となっています。

これは上記の一般解と形が異なります。

3. 最終的な答え

正しくない