与えられた連立一次方程式の解を求めます。 $ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -4 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $

はい、承知いたしました。2つの問題についてそれぞれ解いていきます。

**問題1**

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求めます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & -4 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

この同次連立一次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いて解を求めます。

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \\ 3 & -4 & -7 & 0 \end{pmatrix}$

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目を2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 7 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 7 & 10 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の7倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目を3で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、2行目から3行目を引き、1行目に3行目の3倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、1行目に2行目の2倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$x=0$, $y=0$, $z=0$

3. 最終的な答え

$x = 0, y = 0, z = 0$

**問題2**

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の解を求めます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -5 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

この同次連立一次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いて解を求めます。

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & -5 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の2倍を引き、4行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & 6 & 10 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、2行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & -3 & 6 & 10 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目に2行目の3倍を足し、4行目に2行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

次に、4行目に3行目の2倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

次に、1行目に3行目の4倍を足し、2行目に3行目の3倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

次に、1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$x_1 + 3x_3 = 0$, $x_2 - 2x_3 = 0$, $x_4 = 0$

$x_1 = -3x_3, x_2 = 2x_3, x_4 = 0$

$x_3 = t$とすると

$x_1 = -3t, x_2 = 2t, x_3 = t, x_4 = 0$

3. 最終的な答え

$x_1 = -3t, x_2 = 2t, x_3 = t, x_4 = 0$ (tは任意の実数)