数列 $\{a_n\}$ が $a_1=2$, $a_n a_{n+1} = \sqrt{a_n}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義されている。 このとき、$\log_2 a_4$ の値を求める。また、$b_n = \log_2 a_n$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表し、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=2$, $a_n a_{n+1} = \sqrt{a_n}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義されている。

このとき、$\log_2 a_4$ の値を求める。また、$b_n = \log_2 a_n$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表し、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a_n a_{n+1} = \sqrt{a_n}$ より、$a_{n+1} = \frac{\sqrt{a_n}}{a_n} = \frac{1}{\sqrt{a_n}}$ である。

$a_1 = 2$ なので、$a_2 = \frac{1}{\sqrt{a_1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

$a_3 = \frac{1}{\sqrt{a_2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}}} = 2^{\frac{1}{4}}$ である。

$a_4 = \frac{1}{\sqrt{a_3}} = \frac{1}{\sqrt{2^{\frac{1}{4}}}} = 2^{-\frac{1}{8}}$ である。

よって、$\log_2 a_4 = \log_2 2^{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{8}$ である。

次に、$b_n = \log_2 a_n$ とおくとき、$b_{n+1} = \log_2 a_{n+1} = \log_2 \frac{1}{\sqrt{a_n}} = \log_2 a_n^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} \log_2 a_n = -\frac{1}{2} b_n$ である。

数列 $\{b_n\}$ は公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。

$b_1 = \log_2 a_1 = \log_2 2 = 1$ なので、$b_n = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ である。

したがって、$a_n = 2^{b_n} = 2^{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}$ である。

3. 最終的な答え

$\log_2 a_4 = -\frac{1}{8}$

$b_{n+1} = -\frac{1}{2}b_n$

$a_n = 2^{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}$