2次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ の解を求める問題です。

## 問題5

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $2x^2 + 4x - 3 = 0$ の解 $\alpha, \beta$ を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{4}$

$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}$, $\beta = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}$ となります。

次に、不等式 $\alpha x - \beta \leq \beta x + \alpha$ を解きます。

$(\alpha - \beta)x \leq \alpha + \beta$

ここで、$\alpha - \beta = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2} - \frac{-2 + \sqrt{10}}{2} = \frac{-2 - \sqrt{10} + 2 - \sqrt{10}}{2} = \frac{-2\sqrt{10}}{2} = -\sqrt{10}$

$\alpha + \beta = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2} + \frac{-2 + \sqrt{10}}{2} = \frac{-2 - \sqrt{10} - 2 + \sqrt{10}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

したがって、

$-\sqrt{10}x \leq -2$

$x \geq \frac{-2}{-\sqrt{10}}$

$x \geq \frac{2}{\sqrt{10}}$

$x \geq \frac{2\sqrt{10}}{10}$

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{5}$

テ: ①

トナ: 10

ニ: 5