与えられた4つの2次方程式を解く問題です。 (1) $x^2 + 2x - 2 = 0$ (2) $3x^2 - 4x - 2 = 0$ (3) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$ (4) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次方程式を解く問題です。

(1) $x^2 + 2x - 2 = 0$

(2) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

(3) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$

(4) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

を用いて求めることができます。

(1) $x^2 + 2x - 2 = 0$

$a = 1$, $b = 2$, $c = -2$ より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

(2) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

$a = 3$, $b = -4$, $c = -2$ より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3}$

(3) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$

$a = 1$, $b = 2\sqrt{3}$, $c = 3$ より、

$x = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 12}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 0}{2} = -\sqrt{3}$

(4) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 2 = 0$

$a = 1$, $b = -2\sqrt{3}$, $c = 2$ より、

$x = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 8}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2}{2} = \sqrt{3} \pm 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1 \pm \sqrt{3}$

(2) $x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3}$

(3) $x = -\sqrt{3}$

(4) $x = \sqrt{3} \pm 1$