与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の分母を有理化して簡単にします。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値と $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の分母を有理化して簡単にします。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値と $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。分母の $3\sqrt{2} - \sqrt{10}$ に $3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ をかけると有理化できます。

$$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$$

(2) $a + \frac{2}{a}$ を求めます。

$$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})(3\sqrt{2} - \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$$

$$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ を求めます。

$$a^2 + \frac{4}{a^2} = \left(a + \frac{2}{a}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ を求めます。これは $a^4 - \frac{16}{a^4} - 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{a^2} - 1 = a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ と書けます。

$$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = \left(a^2 - \frac{4}{a^2}\right)^2 - \frac{8}{a^2} - 1 - 2 \cdot a^2 \cdot \frac{-4}{a^2} \cdot \frac{-4}{a^2}$$

$\left(a^2 - \frac{4}{a^2}\right)^2 = \left(a - \frac{2}{a}\right)^2 - 8$

$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a^2 = \left( \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} \right)^2 = \frac{18+10+2\cdot 3\sqrt{20}}{4}= \frac{28+12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3 \sqrt{5}$

$\frac{4}{a^2} = \left(\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} \right)^2 = \frac{18+10-2\cdot 3\sqrt{20}}{4} = \frac{28-12\sqrt{5}}{4} = 7 -3 \sqrt{5}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (7 + 3 \sqrt{5}) - (7 -3 \sqrt{5}) = 6\sqrt{5}$

$(a^2 - \frac{4}{a^2})^2 = (6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$

したがって、

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (6\sqrt{5})^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = 180 - 8(7-3\sqrt{5}) - 1 =180 - 56 +24\sqrt{5} - 1 = 123+24\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 0$

($x - y = \sqrt{(x+y)^2-4xy}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$、$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $0$