2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m+5 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m+5 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることです。与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$$D = (m+2)^2 - 4(m+5)$$

となります。$D=0$ となる $m$ の値を求めます。

$$(m+2)^2 - 4(m+5) = 0$$

$$m^2 + 4m + 4 - 4m - 20 = 0$$

$$m^2 - 16 = 0$$

$$m^2 = 16$$

$$m = \pm 4$$

$m=4$ のとき、与えられた2次方程式は

$$x^2 + (4+2)x + 4+5 = 0$$

$$x^2 + 6x + 9 = 0$$

$$(x+3)^2 = 0$$

したがって、$x = -3$ が重解です。

$m=-4$ のとき、与えられた2次方程式は

$$x^2 + (-4+2)x - 4+5 = 0$$

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x-1)^2 = 0$$

したがって、$x=1$ が重解です。

3. 最終的な答え

$m=4$ のとき、重解は $x=-3$

$m=-4$ のとき、重解は $x=1$