与えられた数列 $a_n, b_n, c_n, d_n, t_n$ に対して、以下の和を計算する問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} t_k$ (4) $\sum_{k=1}^{n} a_k d_k$ (5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k}$ (6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k$ また、数列 $a_n$ を第 $m$ 群が $m^3$ 個の項を含むように区分したとき、$\sum_{n=1}^{2025} a_n = \sum_{n=1}^{9} b_n$ となる数列 $b_n$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $a_n, b_n, c_n, d_n, t_n$ に対して、以下の和を計算する問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} t_k$

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k d_k$

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k$

また、数列 $a_n$ を第 $m$ 群が $m^3$ 個の項を含むように区分したとき、$\sum_{n=1}^{2025} a_n = \sum_{n=1}^{9} b_n$ となる数列 $b_n$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、各数列の一般項を求めます。

$a_n = 2n - 1$

$b_n = 2n + 1$

$c_n = 2n + 3$

$d_n = 2^n$

$t_n = 2n^2 - 2n + 2$

(1)

$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)(2k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 3)}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

(2)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

$=\frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})] = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2} (\frac{2n+1-1}{2n+1}) = \frac{n}{2n+1}$

(3)

$\sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 2k + 2) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2$

$= 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} + 2n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - n(n+1) + 2n$

$= \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{3} - n^2 - n + 2n = \frac{2n^3 + 3n^2 + n - 3n^2 - 3n + 6n}{3} = \frac{2n^3 + 4n}{3} = \frac{2n(n^2 + 2)}{3}$

(4)

$\sum_{k=1}^{n} a_k d_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)2^k = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot 2^k - \sum_{k=1}^{n} 2^k$

$\sum_{k=1}^{n} 2k \cdot 2^k = 2\sum_{k=1}^{n} k 2^k$

$S = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$

$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n+1} = \frac{2(2^n-1)}{2-1} - n \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1} = (1-n)2^{n+1} - 2$

$S = (n-1)2^{n+1} + 2$

$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n-1)}{2-1} = 2^{n+1}-2$

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)2^k = 2[(n-1)2^{n+1} + 2] - (2^{n+1}-2) = (2n-2)2^{n+1} + 4 - 2^{n+1} + 2 = (2n-3)2^{n+1} + 6$

(5)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{8} [\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} - \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}]$

$= \frac{1}{8} [(\frac{1}{1 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 5}) + (\frac{1}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5 \cdot 7}) + \dots + (\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)})]$

$= \frac{1}{8} (\frac{1}{3} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}) = \frac{1}{8} (\frac{(2n+1)(2n+3) - 3}{3(2n+1)(2n+3)}) = \frac{1}{8} (\frac{4n^2 + 8n + 3 - 3}{3(2n+1)(2n+3)}) = \frac{1}{8} \frac{4n(n+2)}{3(2n+1)(2n+3)}$

$= \frac{n(n+2)}{6(2n+1)(2n+3)}$

(6)

$\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k = \sum_{k=1}^{n} k^2 2^k$

数列 $a_n$ の区分について。

第 $m$ 群の項数は $m^3$ 個なので、第 $m$ 群の最後の項は $\sum_{k=1}^{m} k^3 = (\frac{m(m+1)}{2})^2$ 番目の項となります。

$\sum_{n=1}^{2025} a_n = \sum_{n=1}^{9} b_n$ より、$2025 = \sum_{n=1}^{k} n^3 = (\frac{k(k+1)}{2})^2$ を満たす $k$ を求めます。

$\sqrt{2025} = 45 = \frac{k(k+1)}{2}$

$90 = k(k+1)$ なので $k=9$

よって、数列 $a_n$ の $2025$ 項までの和は、数列 $b_n$ の $9$ 項までの和に等しい。

$b_n$ は、数列 $a_n$ の第 $n$ 群の和なので、$b_n = \sum_{k = (\frac{(n-1)n}{2})^2 + 1}^{(\frac{n(n+1)}{2})^2} a_k$

第 $n$ 群の初項の番号は $(\frac{(n-1)n}{2})^2 + 1$ で、末項の番号は $(\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{n=1}^m n^3 = (\frac{m(m+1)}{2})^2$

$a_n = 2n - 1$ なので、

$b_n = \sum_{k=(\frac{(n-1)n}{2})^2+1}^{(\frac{n(n+1)}{2})^2} (2k-1) = 2\sum_{k=(\frac{(n-1)n}{2})^2+1}^{(\frac{n(n+1)}{2})^2} k - \sum_{k=(\frac{(n-1)n}{2})^2+1}^{(\frac{n(n+1)}{2})^2} 1$

$= 2 (\frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2 (\frac{n(n+1)}{2})^2 + 1}{2} ) ((\frac{n(n+1)}{2})^2 - ((\frac{(n-1)n}{2})^2+1) + 1) - ((\frac{n(n+1)}{2})^2 - ((\frac{(n-1)n}{2})^2+1) + 1)$

$= [(\frac{n(n+1)}{2})^2 ((\frac{n(n+1)}{2})^2 + 1) - ((\frac{(n-1)n}{2})^2 + 1)((\frac{(n-1)n}{2})^2 + 2)] - ( (\frac{n^2(n+1)^2}{4}) - \frac{n^2(n-1)^2}{4})$

$b_n$を簡単に求められる方法を探します。 $b_n$は数列 $a_k$ の第$n$群の和です。第$n$群は $n^3$ 個の要素を含みます。$a_k=2k-1$. 従って$b_n=n^3(2a-1)$ここで $a$ は第 $n$ 群の算術平均。第 $n$ 群の最初の数は $(\frac{n(n-1)}{2})^2 + 1$ であり、第 $n$ 群の最後の数は $(\frac{n(n+1)}{2})^2$. 従って

$a= (\frac{(\frac{n(n-1)}{2})^2 + 1 + (\frac{n(n+1)}{2})^2}{2})$.

$b_n = n^3 (2a - 1)$ より

$2a-1=\frac{2(\frac{n^2(n-1)^2 + 4}{4} + (\frac{n^2(n+1)^2}{4}) -2}{1}$

$2a-1=\frac{n^2[(n-1)^2+(n+1)^2]+4-4}{4}$

$2a-1= n^2(n^2-2n+1+n^2+2n+1)/4$

$2a-1 = n^2(2n^2+2)/4$

$2a-1= n^2(n^2+1)/2$

$b_n = n^3(n^4 + n^2)/2 = n^5 (n^2 +1 )/2$.

しかし、正しくありません。

第$n$群の和=$\sum_{k=1}^{n} k^3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

(2) $\frac{n}{2n+1}$

(3) $\frac{2n(n^2 + 2)}{3}$

(4) $(2n-3)2^{n+1} + 6$

(5) $\frac{n(n+2)}{6(2n+1)(2n+3)}$

(6) 計算中

数列 $b_n$ の一般項: $b_n = n^3 (2a - 1)$

ここで $a$ は第 $n$ 群の算術平均。第 $n$ 群の最初の数は $(\frac{n(n-1)}{2})^2 + 1$ であり、第 $n$ 群の最後の数は $(\frac{n(n+1)}{2})^2$.

$b_n$ は数列 $a_k = 2k-1$ の第 $n$ 群の和なので、

$b_n=\sum_{k=(\frac{(n-1)n}{2})^2+1}^{(\frac{n(n+1)}{2})^2} 2k-1$.

簡単化

$a_k = 2k - 1$ なので

$\sum_{n=1}^{2025} a_n = \sum_{n=1}^{2025} (2n-1) = 2025^2$.

$\sum_{k=1}^{9} b_k = 2025^2$

$b_n$:数列a_kのk=(\frac{n(n-1)}{2})^2+1からk=(\frac{n(n+1)}{2})^2までの和とする

$b_n=4*n^6+2*n^3$

数列 $b_n$ の一般項: $n^6 + \frac{n^3}{2}$