関数 $y = |x+4| - |x+1|$ について、以下の問いに答える問題です。 (ア) この関数の最大値と最小値を求める。 (イ) この関数のグラフと直線 $y = x+k$ が3個の共有点を持つための $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = |x+4| - |x+1|$ について、以下の問いに答える問題です。

(ア) この関数の最大値と最小値を求める。

(イ) この関数のグラフと直線 $y = x+k$ が3個の共有点を持つための $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 関数 $y = |x+4| - |x+1|$ の最大値と最小値を求めます。

場合分けを行います。

* $x < -4$ のとき：$y = -(x+4) - -(x+1) = -x - 4 + x + 1 = -3$

* $-4 \leq x < -1$ のとき：$y = (x+4) - -(x+1) = x + 4 + x + 1 = 2x + 5$

* $x \geq -1$ のとき：$y = (x+4) - (x+1) = x + 4 - x - 1 = 3$

$-4 \leq x < -1$ のとき、$y = 2x + 5$ は増加関数なので、

$x = -4$ のとき $y = 2(-4) + 5 = -3$

$x = -1$ のとき $y = 2(-1) + 5 = 3$

したがって、

$x < -4$ のとき $y = -3$

$-4 \leq x < -1$ のとき $-3 \leq y < 3$

$x \geq -1$ のとき $y = 3$

最大値：3

最小値：-3

(イ) 関数 $y = |x+4| - |x+1|$ のグラフと直線 $y = x+k$ が3個の共有点を持つための $k$ の値の範囲を求めます。

場合分けによってグラフの概形がわかるので、$y = x+k$ が $y = |x+4| - |x+1|$と3個の共有点を持つ条件を考えます。

* $x < -4$ のとき $y = -3$ なので、 $-3 = x+k$ より $x = -3-k < -4$ つまり、$k > 1$。

* $-4 \leq x < -1$ のとき $y = 2x+5$ なので、$2x+5 = x+k$ より $x = k-5$。$-4 \leq k-5 < -1$ つまり $1 \leq k < 4$。

* $x \geq -1$ のとき $y=3$ なので、$3 = x+k$ より $x=3-k \geq -1$ つまり、$k \leq 4$。

$y = x+k$ と $y = |x+4| - |x+1|$が3つの交点を持つのは、

1. $x < -4$ での交点。このとき，$y=-3$であり、$x+k=-3$から$x=-3-k<-4$なので$k>1$。

2. $-4 \leq x < -1$ での交点。このとき，$y=2x+5$であり、$2x+5=x+k$から$x=k-5$なので、$-4 \leq k-5 < -1$から$1 \leq k < 4$。

3. $x \geq -1$ での交点。このとき，$y=3$であり、$x+k=3$から$x=3-k \geq -1$なので、$k \leq 4$。

$-4 \leq x < -1$の範囲で、直線が$y=2x+5$と接するとき、$k=1$。

$x < -4$の範囲の直線と、$x \geq -1$の範囲の直線に接する場合、$k=4$。

したがって、3つの共有点を持つのは、$k=1$または$k=4$を除く$1 < k < 4$の場合です。

3. 最終的な答え

(ア) 最大値：3, 最小値：-3

(イ) $1 < k < 4$