問題1は、与えられた数列 $a_n, b_n, c_n, d_n, t_n$ について、与えられた和を計算する問題です。具体的には、以下の6つの和を求める必要があります。 (1) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} t_k$ (4) $\sum_{k=1}^{n} a_k d_k$ (5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k}$ (6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k$ 問題2は、数列 $a_n$ が群に分けられており、第 $m$ 群が $m^3$ 個の項を含むように区分されています。この数列の最初の2025項の和 $\sum_{n=1}^{2025} a_n$ を求める問題です。ただし、$\sum_{n=1}^{9} n^6 = 978405$ が与えられています。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた数列 $a_n, b_n, c_n, d_n, t_n$ について、与えられた和を計算する問題です。具体的には、以下の6つの和を求める必要があります。

(1) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} t_k$

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k d_k$

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k$

問題2は、数列 $a_n$ が群に分けられており、第 $m$ 群が $m^3$ 個の項を含むように区分されています。この数列の最初の2025項の和 $\sum_{n=1}^{2025} a_n$ を求める問題です。ただし、$\sum_{n=1}^{9} n^6 = 978405$ が与えられています。

2. 解き方の手順

**問題1：**

まず、数列の一般項を求めます。

* $a_n = 2n - 1$

* $b_n = 2n + 1$

* $c_n = 2n + 3$

* $d_n = 2^n$

* $t_n = n^2 + n$

これらの一般項を用いて、各和を計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{n}{2n+1}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1 + 3)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} a_k d_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)2^k = 2\sum_{k=1}^{n} k2^k - \sum_{k=1}^{n} 2^k = 2(n2^{n+1} - 2^{n+1} + 2) - (2^{n+1} - 2) = 2n2^{n+1} - 2^{n+2} + 4 - 2^{n+1} + 2 = n2^{n+2} - 3\cdot 2^{n+1} + 6 = (n2 - 3) 2^{n+1} + 6$

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k b_k c_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{8} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} - \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}) = \frac{1}{8} (\frac{1}{1\cdot3} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}) = \frac{1}{8} (\frac{1}{3} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}) = \frac{1}{24} - \frac{1}{8(2n+1)(2n+3)} = \frac{(2n+1)(2n+3)-3}{24(2n+1)(2n+3)} = \frac{4n^2 + 8n}{24(2n+1)(2n+3)} = \frac{n(n+2)}{6(2n+1)(2n+3)}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} k^2 d_k = \sum_{k=1}^{n} k^2 2^k$

この和はやや複雑ですが、部分積分を用いて計算できます。

$S = \sum_{k=1}^n k^2 2^k$ とすると、$S = (n^2 2^{n+1}) - 2\sum_{k=1}^n k 2^k + \sum_{k=1}^n 2^k$.

$\sum_{k=1}^n k 2^k = n2^{n+1} - 2^{n+1} + 2$.

$\sum_{k=1}^n 2^k = 2^{n+1} - 2$.

よって $S = n^2 2^{n+1} - 2 (n2^{n+1} - 2^{n+1} + 2) + 2^{n+1} - 2 = 2^{n+1} (n^2 - 2n + 1) - 4 + 2^{n+1} -2 = 2^{n+1}(n^2 - 2n + 1 + 1) - 6 = 2^{n+1}(n-1)^2 + 2^{n+1+1} - 6 = 2^{n+1} (n^2 - 2n + 2)-6$

**問題2：**

第 $m$ 群の項数は $m^3$ です。したがって、最初の $k$ 群までの項数の合計は $\sum_{m=1}^{k} m^3 = (\frac{k(k+1)}{2})^2$ となります。

$\sum_{m=1}^9 m^3 = (\frac{9(10)}{2})^2 = 45^2 = 2025$です。

数列 $\{a_n\}$ は、$2, 4, 6, 8, 10, ...$ であるから、$a_n = 2n$。

求める和は、

$\sum_{n=1}^{2025} a_n = \sum_{n=1}^{2025} 2n = 2\sum_{n=1}^{2025} n = 2 \cdot \frac{2025(2026)}{2} = 2025 \cdot 2026 = 4104150$

3. 最終的な答え

**問題1：**

(1) $\frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

(2) $\frac{n}{2n+1}$

(3) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(4) $2^{n+1} (2n-3) + 6$

(5) $\frac{n(n+2)}{6(2n+1)(2n+3)}$

(6) $2^{n+1}(n^2 - 2n + 2) - 6$

**問題2：**

4104150