2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるということは、すべての実数 $x$ に対して、$ax^2 + 2x + 4a < 0$ が成り立つということである。

まず、$a=0$ の場合を考える。

$0x^2 + 2x + 4(0) < 0$ となり、$2x < 0$、つまり $x < 0$ となる。これはすべての実数 $x$ に対して成り立つわけではないので、$a=0$ は条件を満たさない。

次に、$a \ne 0$ の場合を考える。

すべての実数 $x$ に対して $ax^2 + 2x + 4a < 0$ が成り立つためには、以下の2つの条件が必要である。

1. $a < 0$ (上に凸な放物線であること)

2. 判別式 $D < 0$ (実数解を持たないこと)

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ であり、この問題では $a=a, b=2, c=4a$ なので、

$D = 2^2 - 4(a)(4a) = 4 - 16a^2$ となる。

$D < 0$ より、$4 - 16a^2 < 0$。

$16a^2 > 4$

$a^2 > \frac{4}{16}$

$a^2 > \frac{1}{4}$

$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$

条件 1 と 2 を満たす $a$ の範囲は、$a < 0$ かつ $a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$。

したがって、$a < -\frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{1}{2}$