2桁の整数で、1の位と10の位の数を入れ替えると、元の数の $1\frac{3}{4}$ 倍になるものは何個あるか。

1. 問題の内容

2桁の整数で、1の位と10の位の数を入れ替えると、元の数の $1\frac{3}{4}$ 倍になるものは何個あるか。

2. 解き方の手順

まず、2桁の整数を $10a + b$ と表します。ここで、$a$ は10の位の数字、$b$ は1の位の数字を表し、$a$ と $b$ は1から9までの整数です。

次に、1の位と10の位を入れ替えた数は $10b + a$ となります。

問題文より、$10b + a = \frac{7}{4} (10a + b)$ という関係が成り立ちます。

この式を整理すると、次のようになります。

$4(10b + a) = 7(10a + b)$

$40b + 4a = 70a + 7b$

$33b = 66a$

$b = 2a$

この関係を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a$ と $b$ は1から9までの整数なので、$a$ が1のとき $b=2$、

$a$ が2のとき $b=4$、

$a$ が3のとき $b=6$、

$a$ が4のとき $b=8$ となります。

$a$ が5以上の場合は $b$ が10以上となり条件を満たしません。

したがって、条件を満たす2桁の整数は、12, 24, 36, 48 の4つです。

3. 最終的な答え

4個