与えられた3つの2次方程式について、解を判別し、解を求める問題です。 (1) $x^2 + 2 = 0$ (2) $x^2 - 4x + 4 = 0$ (3) $2x^2 + 5x + 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次方程式について、解を判別し、解を求める問題です。

(1) $x^2 + 2 = 0$

(2) $x^2 - 4x + 4 = 0$

(3) $2x^2 + 5x + 3 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

判別式 $D$ の値によって、解は次のように判別できます。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $D = 0$ のとき、重解（実数解）を持つ。

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

解は、2次方程式の解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて求めます。

(1) $x^2 + 2 = 0$ の場合：

$a = 1$, $b = 0$, $c = 2$ より、

$D = 0^2 - 4(1)(2) = -8 < 0$ なので、異なる2つの虚数解を持ちます。

解は、$x = \frac{-0 \pm \sqrt{-8}}{2(1)} = \frac{\pm 2\sqrt{2}i}{2} = \pm \sqrt{2}i$

(2) $x^2 - 4x + 4 = 0$ の場合：

$a = 1$, $b = -4$, $c = 4$ より、

$D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$ なので、重解を持ちます。

解は、$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$

(3) $2x^2 + 5x + 3 = 0$ の場合：

$a = 2$, $b = 5$, $c = 3$ より、

$D = 5^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1 > 0$ なので、異なる2つの実数解を持ちます。

解は、$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-5 \pm 1}{4}$

$x = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 解の種類：異なる2つの虚数解

解：$x = \pm \sqrt{2}i$

(2) 解の種類：重解

解：$x = 2$

(3) 解の種類：異なる2つの実数解

解：$x = -1, -\frac{3}{2}$