袋Aには赤球1個と白球1個、袋Bには赤球2個と白球3個が入っている。袋Aから1個の球を取り出して袋Bに入れ、よく混ぜた後、袋Bから1個の球を取り出して袋Aに入れる。このとき、袋Aが赤球だけになる確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには赤球1個と白球1個、袋Bには赤球2個と白球3個が入っている。袋Aから1個の球を取り出して袋Bに入れ、よく混ぜた後、袋Bから1個の球を取り出して袋Aに入れる。このとき、袋Aが赤球だけになる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

袋Aが赤球だけになるには、袋Aから取り出した球と、袋Bから取り出して袋Aに戻された球が共に赤球である必要がある。

まず、袋Aから赤球を取り出す確率を求める。これは、袋Aに入っている球の数が赤球1個、白球1個なので、確率は

$\frac{1}{2}$

である。

次に、袋Aから取り出した球が赤球の場合、袋Bには赤球が3個、白球が3個になる。このとき、袋Bから赤球を取り出す確率は

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

である。したがって、袋Aから赤球を取り出し、袋Bからも赤球を取り出す確率は

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

である。

次に、袋Aから白球を取り出す確率を求める。これは、袋Aに入っている球の数が赤球1個、白球1個なので、確率は

$\frac{1}{2}$

である。

袋Aから取り出した球が白球の場合、袋Bには赤球が2個、白球が4個になる。このとき、袋Bから赤球を取り出す確率は

$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

である。したがって、袋Aから白球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す確率は

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

である。

以上より、袋Aが赤球だけになる確率は、袋Aから赤球を取り出し、袋Bからも赤球を取り出す確率と、袋Aから白球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す確率の和で求められる。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{12}$