連立不等式 $7x - 5 > 13 - 2x$ $x + a \geq 3x + 5$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

連立不等式

$7x - 5 > 13 - 2x$

$x + a \geq 3x + 5$

を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式:

$7x - 5 > 13 - 2x$

$7x + 2x > 13 + 5$

$9x > 18$

$x > 2$

2つ目の不等式:

$x + a \geq 3x + 5$

$a - 5 \geq 3x - x$

$a - 5 \geq 2x$

$2x \leq a - 5$

$x \leq \frac{a - 5}{2}$

連立不等式を解くと、$2 < x \leq \frac{a - 5}{2}$ となります。

これを満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するということは、整数 $x$ は $3, 4, 5, 6, 7$ であるということです。

したがって、$7 \leq \frac{a - 5}{2} < 8$ が成り立ちます。

$7 \leq \frac{a - 5}{2} < 8$

$14 \leq a - 5 < 16$

$14 + 5 \leq a < 16 + 5$

$19 \leq a < 21$

3. 最終的な答え

$19 \leq a < 21$