与えられた行列式が0となるような $x$ の値をすべて求める問題です。行列式は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} x & 0 & 2 & 3 \\ 0 & x & 3 & 2 \\ 2 & 3 & x & 0 \\ 3 & 2 & 0 & x \end{vmatrix} = 0$

1. 問題の内容

与えられた行列式が0となるような $x$ の値をすべて求める問題です。行列式は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

x & 0 & 2 & 3 \\

0 & x & 3 & 2 \\

2 & 3 & x & 0 \\

3 & 2 & 0 & x

\end{vmatrix} = 0$

2. 解き方の手順

与えられた行列式を計算します。展開を簡単にするために、行や列の入れ替えなどの操作は行いません。直接計算します。

$\begin{vmatrix}

x & 0 & 2 & 3 \\

0 & x & 3 & 2 \\

2 & 3 & x & 0 \\

3 & 2 & 0 & x

\end{vmatrix} = x \begin{vmatrix}

x & 3 & 2 \\

3 & x & 0 \\

2 & 0 & x

\end{vmatrix} - 0 + 2 \begin{vmatrix}

0 & x & 2 \\

2 & 3 & 0 \\

3 & 2 & x

\end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix}

0 & x & 3 \\

2 & 3 & x \\

3 & 2 & 0

\end{vmatrix}$

$= x (x(x^2 - 0) - 3(3x - 0) + 2(0 - 2x)) + 2 (0(3x-0) - x(2x-0) + 2(4-9)) - 3 (0(0-2x) - x(0-3x) + 3(4-9))$

$= x (x^3 - 9x - 4x) + 2 (-2x^2 - 10) - 3 (3x^2 - 15)$

$= x (x^3 - 13x) - 4x^2 - 20 - 9x^2 + 45$

$= x^4 - 13x^2 - 4x^2 - 20 - 9x^2 + 45$

$= x^4 - 26x^2 + 25$

したがって、$x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ を解けば良いです。

$y = x^2$ と置くと、$y^2 - 26y + 25 = 0$ となります。

$(y - 1)(y - 25) = 0$

よって、$y = 1, 25$

$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

$x^2 = 25$ より $x = \pm 5$

3. 最終的な答え

$x = -5, -1, 1, 5$