以下の式を簡単にせよ。 (1) $2^{\log_2 3}$ (2) $100^{\log_{10} \sqrt{2}}$ (3) $10^{-\log_{100} 2}$

はい、承知しました。画像の問題のうち、問題4の(1),(2),(3)を解きます。

1. 問題の内容

以下の式を簡単にせよ。

(1) $2^{\log_2 3}$

(2) $100^{\log_{10} \sqrt{2}}$

(3) $10^{-\log_{100} 2}$

2. 解き方の手順

(1) 指数の性質を利用します。$a^{\log_a x} = x$ を用いると、

$2^{\log_2 3} = 3$

(2) まず、$100 = 10^2$ であることを利用して、

$100^{\log_{10} \sqrt{2}} = (10^2)^{\log_{10} \sqrt{2}} = 10^{2\log_{10} \sqrt{2}}$

次に、対数の性質 $n\log_a x = \log_a x^n$ を利用して、

$10^{2\log_{10} \sqrt{2}} = 10^{\log_{10} (\sqrt{2})^2} = 10^{\log_{10} 2}$

最後に、指数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を用いると、

$10^{\log_{10} 2} = 2$

(3) まず、底を変換します。

$-\log_{100} 2 = -\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 100} = -\frac{\log_{10} 2}{2} = -\frac{1}{2} \log_{10} 2$

$10^{-\log_{100} 2} = 10^{-\frac{1}{2}\log_{10} 2} = 10^{\log_{10} 2^{-\frac{1}{2}}} = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) $\frac{\sqrt{2}}{2}$