$a$を実数とし、線形写像$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$が次のように定義されるとき、合成写像$f \circ g$が単射となるのは$a$がどのような値のときか答えよ。 $f\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x+y \\ -x+y \\ y\end{array}\right)$, $g(v) = Bv \; (v \in \mathbb{R}^2)$, ただし $B = \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}\right)$.

1. 問題の内容

$a$を実数とし、線形写像$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$が次のように定義されるとき、合成写像$f \circ g$が単射となるのは$a$がどのような値のときか答えよ。

$f\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x+y \\ -x+y \\ y\end{array}\right)$, $g(v) = Bv \; (v \in \mathbb{R}^2)$, ただし $B = \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}\right)$.

2. 解き方の手順

まず、$f(g(v))$を計算します。$v = \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)$とすると、

$g(v) = \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x+y \\ x+ay\end{array}\right)$.

したがって、

$f(g(v)) = f\left(\begin{array}{c}x+y \\ x+ay\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}(x+y) + (x+ay) \\ -(x+y) + (x+ay) \\ x+ay\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2x+(a+1)y \\ (a-1)y \\ x+ay\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2 & a+1 \\ 0 & a-1 \\ 1 & a\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)$.

合成写像$f \circ g$が単射であるための必要十分条件は、$\left(\begin{array}{cc}2 & a+1 \\ 0 & a-1 \\ 1 & a\end{array}\right)$のランクが2であることです。

この行列のランクが2であるためには、少なくとも一つの2x2の小行列式が0でないことが必要です。

考えられる2x2の小行列式は次の3つです。

$\left|\begin{array}{cc}2 & a+1 \\ 0 & a-1\end{array}\right| = 2(a-1)$

$\left|\begin{array}{cc}2 & a+1 \\ 1 & a\end{array}\right| = 2a - (a+1) = a-1$

$\left|\begin{array}{cc}0 & a-1 \\ 1 & a\end{array}\right| = -(a-1)$

合成写像$f \circ g$が単射であるためには、$x$と$y$が0のときだけ$f(g(v))=0$になる必要があります。つまり

$\left(\begin{array}{cc}2 & a+1 \\ 0 & a-1 \\ 1 & a\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$

の解が$x = y = 0$のみである必要があります。

2行目より$a-1 \neq 0$である必要があります。つまり、$a \neq 1$

もし、$a=1$なら、

$\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2x+2y \\ 0 \\ x+y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$

$x=-y$のときに、上記の式は成立します。

もし、$a \neq 1$なら、$y=0$です。

$\left(\begin{array}{cc}2 & a+1 \\ 0 & a-1 \\ 1 & a\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x \\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2x \\ 0 \\ x\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$

つまり、$x=0$

したがって、$a \neq 1$の時のみ、単射となります。

3. 最終的な答え

$a \neq 1$