与えられた対数方程式と対数不等式を解く。 (1) $\log_{0.5}(x+1)(x+2) = -1$ (2) $\log_3(x-2) + \log_3(2x-7) = 2$ (3) $2\log_{0.5}(3-x) \geq \log_{0.5}4x$ (4) $\log_3x + \log_3(x-2) \geq 1$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式と対数不等式を解く。

(1) $\log_{0.5}(x+1)(x+2) = -1$

(2) $\log_3(x-2) + \log_3(2x-7) = 2$

(3) $2\log_{0.5}(3-x) \geq \log_{0.5}4x$

(4) $\log_3x + \log_3(x-2) \geq 1$

2. 解き方の手順

(1)

真数条件より、$x+1>0$ かつ $x+2>0$。よって、$x>-1$。

$\log_{0.5}(x+1)(x+2) = -1$

$(x+1)(x+2) = (0.5)^{-1} = 2$

$x^2 + 3x + 2 = 2$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x+3) = 0$

$x = 0, -3$

真数条件より、$x > -1$ なので、$x = 0$。

(2)

真数条件より、$x-2>0$ かつ $2x-7>0$。よって、$x>2$ かつ $x>\frac{7}{2}$。したがって、$x>\frac{7}{2}$。

$\log_3(x-2) + \log_3(2x-7) = 2$

$\log_3((x-2)(2x-7)) = 2$

$(x-2)(2x-7) = 3^2 = 9$

$2x^2 - 7x - 4x + 14 = 9$

$2x^2 - 11x + 5 = 0$

$(2x-1)(x-5) = 0$

$x = \frac{1}{2}, 5$

真数条件より、$x > \frac{7}{2}$ なので、$x = 5$。

(3)

真数条件より、$3-x>0$ かつ $4x>0$。よって、$x<3$ かつ $x>0$。したがって、$0<x<3$。

$2\log_{0.5}(3-x) \geq \log_{0.5}4x$

$\log_{0.5}(3-x)^2 \geq \log_{0.5}4x$

底が0.5なので、不等号の向きが反転する。

$(3-x)^2 \leq 4x$

$9 - 6x + x^2 \leq 4x$

$x^2 - 10x + 9 \leq 0$

$(x-1)(x-9) \leq 0$

$1 \leq x \leq 9$

真数条件より、$0 < x < 3$ なので、$1 \leq x < 3$。

(4)

真数条件より、$x>0$ かつ $x-2>0$。よって、$x>2$。

$\log_3x + \log_3(x-2) \geq 1$

$\log_3(x(x-2)) \geq 1$

$x(x-2) \geq 3^1 = 3$

$x^2 - 2x - 3 \geq 0$

$(x-3)(x+1) \geq 0$

$x \leq -1$ または $x \geq 3$

真数条件より、$x>2$ なので、$x \geq 3$。

3. 最終的な答え

(1) $x=0$

(2) $x=5$

(3) $1 \leq x < 3$

(4) $x \geq 3$