与えられた4つの2次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 - 5x + 6 > 0$ (2) $x^2 - x - 12 < 0$ (3) $x^2 + 4x \geq 0$ (4) $x^2 \leq 9$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 - 5x + 6 > 0$

(2) $x^2 - x - 12 < 0$

(3) $x^2 + 4x \geq 0$

(4) $x^2 \leq 9$

2. 解き方の手順

各不等式について、以下の手順で解きます。

まず、不等号を等号に置き換えて2次方程式を解き、解を求めます。

次に、求めた解を境界値として、数直線上で不等式が成り立つ範囲を調べます。

(1) $x^2 - 5x + 6 > 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$ を解きます。

$(x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2, 3$

数直線上で、$x < 2$, $2 < x < 3$, $x > 3$ の範囲で不等式が成り立つか調べます。

$x < 2$ のとき、例えば $x=0$ を代入すると、$0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0$ なので成り立ちます。

$2 < x < 3$ のとき、例えば $x=2.5$ を代入すると、$(2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$ なので成り立ちません。

$x > 3$ のとき、例えば $x=4$ を代入すると、$4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0$ なので成り立ちます。

したがって、$x < 2$ または $x > 3$ が解です。

(2) $x^2 - x - 12 < 0$

$x^2 - x - 12 = 0$ を解きます。

$(x - 4)(x + 3) = 0$

$x = 4, -3$

数直線上で、$x < -3$, $-3 < x < 4$, $x > 4$ の範囲で不等式が成り立つか調べます。

$x < -3$ のとき、例えば $x=-4$ を代入すると、$(-4)^2 - (-4) - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0$ なので成り立ちません。

$-3 < x < 4$ のとき、例えば $x=0$ を代入すると、$0^2 - 0 - 12 = -12 < 0$ なので成り立ちます。

$x > 4$ のとき、例えば $x=5$ を代入すると、$5^2 - 5 - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0$ なので成り立ちません。

したがって、$-3 < x < 4$ が解です。

(3) $x^2 + 4x \geq 0$

$x^2 + 4x = 0$ を解きます。

$x(x + 4) = 0$

$x = 0, -4$

数直線上で、$x < -4$, $-4 < x < 0$, $x > 0$ の範囲で不等式が成り立つか調べます。

$x < -4$ のとき、例えば $x=-5$ を代入すると、$(-5)^2 + 4(-5) = 25 - 20 = 5 > 0$ なので成り立ちます。

$-4 < x < 0$ のとき、例えば $x=-1$ を代入すると、$(-1)^2 + 4(-1) = 1 - 4 = -3 < 0$ なので成り立ちません。

$x > 0$ のとき、例えば $x=1$ を代入すると、$1^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5 > 0$ なので成り立ちます。

また、$x = -4$ と $x = 0$ のときも不等式が成り立つので、

$x \leq -4$ または $x \geq 0$ が解です。

(4) $x^2 \leq 9$

$x^2 = 9$ を解きます。

$x = \pm 3$

数直線上で、$x < -3$, $-3 < x < 3$, $x > 3$ の範囲で不等式が成り立つか調べます。

$x < -3$ のとき、例えば $x=-4$ を代入すると、$(-4)^2 = 16 > 9$ なので成り立ちません。

$-3 < x < 3$ のとき、例えば $x=0$ を代入すると、$0^2 = 0 < 9$ なので成り立ちます。

$x > 3$ のとき、例えば $x=4$ を代入すると、$4^2 = 16 > 9$ なので成り立ちません。

また、$x = -3$ と $x = 3$ のときも不等式が成り立つので、

$-3 \leq x \leq 3$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $x < 2$ または $x > 3$

(2) $-3 < x < 4$

(3) $x \leq -4$ または $x \geq 0$

(4) $-3 \leq x \leq 3$