次の2つの2次不等式を解きます。 (1) $-2x^2 + x + 1 < 0$ (2) $-3x^2 + 5x - 1 \geq 0$

1. 問題の内容

次の2つの2次不等式を解きます。

(1) $-2x^2 + x + 1 < 0$

(2) $-3x^2 + 5x - 1 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $-2x^2 + x + 1 < 0$

まず、両辺に-1を掛けて、不等号の向きを変えます。

$2x^2 - x - 1 > 0$

次に、2次式を因数分解します。

$(2x + 1)(x - 1) > 0$

不等式を満たす$x$の範囲を求めます。

$2x+1>0$かつ$x-1>0$のとき、$x > -\frac{1}{2}$かつ$x > 1$。したがって、$x>1$。

$2x+1<0$かつ$x-1<0$のとき、$x < -\frac{1}{2}$かつ$x < 1$。したがって、$x < -\frac{1}{2}$。

よって、$x < -\frac{1}{2}$または$x > 1$

(2) $-3x^2 + 5x - 1 \geq 0$

まず、両辺に-1を掛けて、不等号の向きを変えます。

$3x^2 - 5x + 1 \leq 0$

2次式を因数分解しようとしますが、整数ではうまくいきません。そこで、解の公式を使って、$3x^2 - 5x + 1 = 0$の解を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

したがって、$3x^2 - 5x + 1 = 3(x - \frac{5 + \sqrt{13}}{6})(x - \frac{5 - \sqrt{13}}{6}) \leq 0$

この不等式を満たす$x$の範囲は、$\frac{5 - \sqrt{13}}{6} \leq x \leq \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $x < -\frac{1}{2}$ または $x > 1$

(2) $\frac{5 - \sqrt{13}}{6} \leq x \leq \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$