$x$ についての2つの2次不等式 $x^2 - 2x - 8 < 0$ (1) $x^2 + (4-a)x - 4a \geq 0$ (2) について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は実数の定数とする。 (1) 不等式 (1) を解く。 (2) 不等式 (2) を解く。 (3) 不等式 (1) と (2) を同時に満たす整数がただ1つであるとき、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ についての2つの2次不等式

$x^2 - 2x - 8 < 0$ (1)

$x^2 + (4-a)x - 4a \geq 0$ (2)

について、以下の問いに答える。ただし、$a$ は実数の定数とする。

(1) 不等式 (1) を解く。

(2) 不等式 (2) を解く。

(3) 不等式 (1) と (2) を同時に満たす整数がただ1つであるとき、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 (1) を解く。

$x^2 - 2x - 8 < 0$

$(x-4)(x+2) < 0$

よって、 $-2 < x < 4$

(2) 不等式 (2) を解く。

$x^2 + (4-a)x - 4a \geq 0$

$(x+4)(x-a) \geq 0$

$a$ の値によって場合分けする。

(i) $a < -4$ のとき、$x \leq a, x \geq -4$

(ii) $a = -4$ のとき、$(x+4)^2 \geq 0$ となり、すべての実数 $x$ が解となる。

(iii) $a > -4$ のとき、$x \leq -4, x \geq a$

(3) 不等式 (1) と (2) を同時に満たす整数がただ1つであるとき、$a$ の値の範囲を求める。

(1) の解は $-2 < x < 4$ であり、この範囲に含まれる整数は $-1, 0, 1, 2, 3$ である。

(i) $a < -4$ のとき

(1) の解 $-2 < x < 4$ と (2) の解 $x \leq a, x \geq -4$ を同時に満たす整数がただ1つである必要があるので、$x = -1, 0, 1, 2, 3$ のうち1つの整数のみが $x \leq a$ を満たす必要がある。

したがって、$a$ の値は $-2 < x < 4$ の範囲で $x \leq a$ を満たす整数がただ1つになるように定める必要がある。

この時、$a$ は $-2 < x < 4$ の範囲の整数 $x=-1, 0, 1, 2, 3$ のどれか1つになる必要がある。

したがって、$a < -4$を満たさない。

(ii) $a = -4$ のとき

(2) の解はすべての実数となるので、(1) の解 $-2 < x < 4$ に含まれる整数 $-1, 0, 1, 2, 3$ が全て解となる。よって、条件を満たさない。

(iii) $a > -4$ のとき

(1) の解 $-2 < x < 4$ と (2) の解 $x \leq -4, x \geq a$ を同時に満たす整数がただ1つである必要がある。

したがって、$x \leq -4$ は (1) の解を満たさないので、$x \geq a$ のみを考慮すればよい。

$a$ が $3 < a \leq 4$ であれば、$x \geq a$ かつ $-2 < x < 4$ を満たす整数は存在しない。

$2 < a \leq 3$ であれば、$x \geq a$ かつ $-2 < x < 4$ を満たす整数は $3$ のみ。

$a=3$ のとき$x=3$のみを満たす。

$a=4$ のとき、$-2 < x < 4$を満たす整数は存在しない。

したがって、$2 < a \leq 3$ であれば、条件を満たす整数が $3$ のみとなり、$a > -4$ の条件も満たす。

3. 最終的な答え

(1) $-2 < x < 4$

(2) $a > -4$ のとき $x \leq -4, x \geq a$, $a < -4$ のとき $x \leq a, x \geq -4$

(3) $2 < a \leq 3$