実数 $a$ と $\theta$ に関する方程式 $2\cos2\theta + 2\cos\theta + a = 0$ について、 (1) $t = \cos\theta$ とおき、この方程式を $t$ と $a$ を用いて表す。 (2) この方程式の $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲での解 $\theta$ の個数を調べる。

1. 問題の内容

実数 $a$ と $\theta$ に関する方程式 $2\cos2\theta + 2\cos\theta + a = 0$ について、

(1) $t = \cos\theta$ とおき、この方程式を $t$ と $a$ を用いて表す。

(2) この方程式の $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲での解 $\theta$ の個数を調べる。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ であるから、与えられた方程式は

$2(2\cos^2\theta - 1) + 2\cos\theta + a = 0$

となる。

$t = \cos\theta$ を代入すると

$2(2t^2 - 1) + 2t + a = 0$

$4t^2 + 2t - 2 + a = 0$

したがって、与えられた方程式は $4t^2 + 2t - 2 + a = 0$ と表せる。

(2)

(1) で求めた方程式を $t$ について解く。

$4t^2 + 2t - 2 + a = 0$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-2+a)}}{2(4)}$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32 - 16a}}{8}$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{36 - 16a}}{8}$

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{9 - 4a}}{4}$

$t = \cos\theta$ であり、 $0 \le \theta < 2\pi$ なので、 $-1 \le t \le 1$ である。

$\theta$ の個数を調べる。

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{9 - 4a}}{4}$ について、

(i) $\frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} > 1$ または $\frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} < -1$ のとき、解 $\theta$ は存在しない。

(ii) $\frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} = 1$ のとき、 $\sqrt{9-4a} = 5$ より $9-4a = 25$, $4a = -16$, $a=-4$. $t=1$ のとき $\theta = 0$。解 $\theta$ は1個。

$\frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} = -1$ のとき、 $\sqrt{9-4a} = 3$ より $9-4a = 9$, $a=0$. $t=-1$ のとき $\theta = \pi$。解 $\theta$ は1個。

(iii) $\frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} = -1$ のとき、 $\sqrt{9-4a} = -3$ となり、これはありえない。

$\frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} = 1$ のとき、 $\sqrt{9-4a} = -5$ となり、これはありえない。

(iv) $-1 < \frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} < \frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} < 1$ のとき、$\cos\theta = t$ を満たす $\theta$ は、$0 \le \theta < 2\pi$ で、$t$ が $-1 < t < 1$ のとき、2個存在する。したがって、このとき解 $\theta$ は2個または4個存在する。

(v) $\frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} = 1$ かつ $-1 < \frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} < 1$ のとき、解 $\theta$ は3個。

(vi) $\frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} = -1$ かつ $-1 < \frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} < 1$ のとき、解 $\theta$ は3個。

3. 最終的な答え

(1) $4t^2 + 2t - 2 + a = 0$

(2)

(i) $a > 2$ のとき、解は0個

(ii) $a = 2$ のとき、解は1個

(iii) $0 < a < 2$ のとき、解は2個

(iv) $a = 0$ のとき、解は3個

(v) $a < 0$ のとき、解は2個