$x$ についての2つの2次不等式 $x^2 - 2x - 8 < 0$ ...① $x^2 + (4-a)x - 4a \ge 0$ ...② について、以下の問いに答える。ただし、$a$は実数の定数とする。 (1) 不等式①を解く。 (2) 不等式②を解く。 (3) 不等式①, ②を同時に満たす整数が、ただ1つであるとき、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ についての2つの2次不等式

$x^2 - 2x - 8 < 0$ ...①

$x^2 + (4-a)x - 4a \ge 0$ ...②

について、以下の問いに答える。ただし、$a$は実数の定数とする。

(1) 不等式①を解く。

(2) 不等式②を解く。

(3) 不等式①, ②を同時に満たす整数が、ただ1つであるとき、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。

$x^2 - 2x - 8 < 0$

$(x-4)(x+2) < 0$

よって、$-2 < x < 4$

(2) 不等式②を解く。

$x^2 + (4-a)x - 4a \ge 0$

$(x+4)(x-a) \ge 0$

$a$の値によって場合分けをする。

(i) $a < -4$ のとき、$x \le a, -4 \le x$

(ii) $a = -4$ のとき、$(x+4)^2 \ge 0$。これは常に成立するので、$x$はすべての実数。

(iii) $a > -4$ のとき、$x \le -4, a \le x$

(3) 不等式①と②を同時に満たす整数がただ1つであるとき、$a$の値の範囲を求める。不等式①の解は $-2 < x < 4$ なので、この範囲に含まれる整数は $-1, 0, 1, 2, 3$。

(i) $a < -4$ のとき

不等式②の解は $x \le a, -4 \le x$。不等式①と②を同時に満たす整数がただ1つであるためには、$3$のみが共通範囲になればよい。つまり、$-4 \le x < 4$ と $x \le a$ を満たす整数は存在せず、$x=3$ だけが共通範囲に含まれる必要がある。

このとき、$2 < a \le 3$を満たしていればよい。しかし、$a<-4$なので、条件を満たさない。

(ii) $a > -4$ のとき

不等式②の解は $x \le -4, a \le x$。不等式①と②を同時に満たす整数がただ1つであるためには、$3$のみが共通範囲になればよい。つまり、$-2 < x < 4$ と $a \le x$ を満たす整数は$x=3$だけであり、$x \le -4$を満たす整数は存在しない必要がある。

このとき、$2 < a \le 3$を満たしていればよい。$a$ が2より大きいと $x=3$ が共通範囲になり、$a$ が3以下であれば、$x=3$だけが共通範囲になる。もし$a=3$であれば、$x=3$も共通範囲に含まれるので、$a < 3$を満たす必要がある。

よって、$2 < a \le 3$

あるいは、不等式①と②を同時に満たす整数がただ1つであるためには、$-1$のみが共通範囲になればよい。

$-1$が共通範囲に含まれるためには、$a \le -1$であればよい。

$-2 < x < 4$ と $x \le -4, a \le x$ の共通範囲は $-2<x \le -1$ を満たす整数は$-1$だけである必要があり、$-2<x<-1$では整数解は存在せず、$a=-1$のとき、$x=-1$が解になるので、$a \le -1$

よって、$-1$だけを満たすためには、$3 < a \le -1$であれば良い。しかし、これは存在しない。

よって、$2 < a \le 3$。

3. 最終的な答え

$2 < a \le 3$