不等式 $|x^2 - 7| < -2x + 8$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|x^2 - 7| < -2x + 8$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(1) $x^2 - 7 \geq 0$ のとき、つまり $x \leq -\sqrt{7}$ または $x \geq \sqrt{7}$ のとき。

不等式は $x^2 - 7 < -2x + 8$ となります。

これを整理すると、

$x^2 + 2x - 15 < 0$

$(x+5)(x-3) < 0$

$-5 < x < 3$

条件 $x \leq -\sqrt{7}$ または $x \geq \sqrt{7}$ を満たすのは、$-5 < x \leq -\sqrt{7}$ と $\sqrt{7} \leq x < 3$ の範囲です。

(2) $x^2 - 7 < 0$ のとき、つまり $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$ のとき。

不等式は $-(x^2 - 7) < -2x + 8$ となります。

これを整理すると、

$-x^2 + 7 < -2x + 8$

$x^2 - 2x + 1 > 0$

$(x-1)^2 > 0$

これは $x \neq 1$ のすべての $x$ で成立します。

条件 $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$ を満たすのは、$-\sqrt{7} < x < 1$ と $1 < x < \sqrt{7}$ の範囲です。

次に、 $-2x + 8 > 0$ である必要があります。

つまり、$2x < 8$ より、$x < 4$ である必要があります。

以上の結果をまとめると、

(1)より、$-5 < x \leq -\sqrt{7}$ と $\sqrt{7} \leq x < 3$

(2)より、$-\sqrt{7} < x < 1$ と $1 < x < \sqrt{7}$

かつ $x < 4$

これらの条件をすべて満たす範囲は、$-5 < x < 3$ かつ $x \ne 1$です。

3. 最終的な答え

$-5 < x < 1$, $1 < x < 3$